Determine e faça um esboço do domínio das funções abaixo: g(x, y)=1x^2+y^2+1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de uma função de duas variáveis e fazer um esboço desse domínio no plano xy. O conteúdo envolvido é domínio de funções multivariáveis, isto é, devemos identificar para quais pares (x,y) a expressão está bem definida.

Passo 2

Para a função g(x,y)=1x^2+y^2+1, temos uma fração. A única restrição possível vem do denominador, pois não podemos dividir por zero.
Analisando o denominador x^2+y^2+1: por definição de quadrado real, x^2 >= 0 e y^2 >= 0. Portanto: x^2+y^2+1 >= 0+0+1 = 1

Passo 3

Como x^2+y^2+1 é sempre maior ou igual a 1, ele nunca zera nem fica negativo. Logo, não há valores de x e y que tornem a função indefinida.
Concluímos que o domínio é todo o plano R^2. No esboço, basta sombrear todo o plano xy, pois não há exclusões.

Passo 4

Para esboçar o domínio, desenhe dois eixos coordenados (eixo x horizontal e eixo y vertical) e sombree toda a região do plano sem restrições.

Resposta

O domínio de g(x,y) é D=(x,y)inR^2mid x,yinR,isto é, todo o plano xy. No esboço, representamos isso sombreando integralmente o plano.

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