Em cada uma das funções abaixo determine as derivadas parciais como indicado
(e) z=raizx^2+y^2x^2-y^2, de

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial partial z/partial x da função z=raizdfracx^2+y^2x^2-y^2. O conteúdo é derivada parcial de função composta e vamos usar a regra da cadeia junto com a regra do quociente.

Passo 2

Para facilitar, chamo u(x,y)=dfracx^2+y^2x^2-y^2. Assim temos
z=raizu=u^1/2

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para z=u^1/2, obtemos
partial zpartial x=12,u^-1/2cdotpartial upartial x=12raizu,partial upartial x

Passo 4

Agora calculamos partial u/partial x usando regra do quociente. Definimos o numerador N=x^2+y^2 e o denominador D=x^2-y^2. Então
partial upartial x=N'x,D-N,D'xD^2= 2x,(x^2-y^2)-(x^2+y^2),2x(x^2-y^2)^2= -4x,y^2(x^2-y^2)^2

Passo 5

Substituindo em partial z/partial x temos
partial zpartial x=12raizucdot-4x,y^2(x^2-y^2)^2=-2x,y^2(x^2-y^2)^2,raizu

Passo 6

Por fim retornamos à notação original u=(x^2+y^2)/(x^2-y^2) e simplificamos
raizu=raizx^2+y^2x^2-y^2Rightarrow ( x^2-y^2)^2,raizu=(x^2-y^2)^3/2,raizx^2+y^2
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Passo 7

Após simplificar todos os fatores, a derivada parcial final fica:

Passo 8

partial zpartial x = -2,x,y^2raizx^2+y^2,(x^2-y^2)^3/2

Resposta

partial zpartial x = -2,x,y^2raizx^2+y^2,(x^2-y^2)^3/2

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