Nos exercicios 1-6, encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
12 cdot 3+13 cdot 4+14 cdot 5+cdots+1(n+1)(n+2)+cdots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da n-ésima soma parcial e a soma da série sumk=1^infty 1(k+1)(k+2). Vamos usar o fato de que essa é uma série telescópica.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral em frações parciais. Para ak = 1(k+1)(k+2), temos:
1(k+1)(k+2) = 1k+1 - 1k+2
Somando de k=1 até k=n e usando cancelamento telescópico, obtemos:
Sn = sumk=1^n l(1k+1 - 1k+2r) = 12 - 1n+2

Passo 3

Para concluir, basta tomar o limite de Sn quando ntoinfty.

Resposta

A fórmula da n-ésima soma parcial é Sn = 12 - 1n+2 e a série converge para 12.

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