Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções
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.
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Passo 1
Neste exercício temos a função
. O objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem (
e
) e de segunda ordem (
,
e
). Vamos usar a regra da cadeia e o fato de que
e
.
Passo 2
Para as derivadas parciais de primeira ordem, tratamos a outra variável como constante. Calculando
:
Agora, para
:
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem a partir de
. Primeiro
:
Em seguida
:
Passo 4
Por fim, derivadas de segunda ordem a partir de
. Primeiro
:
Também podemos checar
a partir de
, obtendo o mesmo resultado de
, o que confirma a igualdade
.
Resposta
f_x(x,y) = y e^{xy} + \cos(x+y); f_y(x,y) = x e^{xy} + \cos(x+y); f_{xx}(x,y) = y^2 e^{xy} - \sin(x+y); f_{xy}(x,y) = (1+xy)e^{xy} - \sin(x+y); f_{yy}(x,y) = x^2 e^{xy} - \sin(x+y).