Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções
© f(x, y)=e^x y+sen(x+y).

Passo 1

Neste exercício temos a função f(x,y) = e^xy + sin(x+y). O objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem ( fx e fy) e de segunda ordem ( fxx, fxy e fyy). Vamos usar a regra da cadeia e o fato de que ddue^u = e^u e ddusin(u)=cos(u).

Passo 2

Para as derivadas parciais de primeira ordem, tratamos a outra variável como constante. Calculando fx:
fx = partialpartial xe^xy + partialpartial xsin(x+y) = e^xycdot y + cos(x+y)
Agora, para fy:
fy = partialpartial ye^xy + partialpartial ysin(x+y) = e^xycdot x + cos(x+y)

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem a partir de fx. Primeiro partial^2 f/partial x^2:
fxx = partialpartial x(y e^xy + cos(x+y)) = ycdot (e^xycdot y) - sin(x+y) = y^2 e^xy - sin(x+y)
Em seguida partial^2 f/partial ypartial x:
fxy = partialpartial y(y e^xy + cos(x+y)) = 1cdot e^xy + ycdot (e^xycdot x) - sin(x+y) = (1+xy)e^xy - sin(x+y)

Passo 4

Por fim, derivadas de segunda ordem a partir de fy. Primeiro partial^2 f/partial y^2:
fyy = partialpartial y(x e^xy + cos(x+y)) = xcdot (e^xycdot x) - sin(x+y) = x^2 e^xy - sin(x+y)
Também podemos checar partial^2 f/partial xpartial y a partir de fy, obtendo o mesmo resultado de fxy, o que confirma a igualdade fxy = fyx.

Resposta

f_x(x,y) = y e^{xy} + \cos(x+y); f_y(x,y) = x e^{xy} + \cos(x+y); f_{xx}(x,y) = y^2 e^{xy} - \sin(x+y); f_{xy}(x,y) = (1+xy)e^{xy} - \sin(x+y); f_{yy}(x,y) = x^2 e^{xy} - \sin(x+y).

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