Para cada um dos itens apresentar o conjunto do Domínio, Imagem, Gráfico e Curvas de Nível. Esboçar os gráficos da função e suas correspondentes curvas de nível.
(b) f(x, y)=y-x

Passo 1

Vou resumir: temos a função de duas variáveis f(x,y)=y−x, o conteúdo é funções de R² em R, superfícies em R³ e curvas de nível. Vamos precisar usar definição de domínio e imagem, entender gráficos em R³ (superfície z=f(x,y)) e nível sets.

Passo 2

Para o domínio, como y−x está definida para todo par (x,y)∈R², concluímos que
O domínio é D(f)=R².

Passo 3

Para a imagem, note que dado qualquer valor z∈R podemos escolher y=x+z e então y−x=z. Assim a imagem de f é toda a reta real
Im(f)=R.

Passo 4

O gráfico é a superfície em R³ dada pela equação z=y−x. É um plano inclinado que passa pela origem e intercepta eixos nos pontos (1,0,−1) e (0,1,1). Para esboçar, desenhe um plano com inclinação −1 na direção x e +1 na direção y.

Passo 5

As curvas de nível são os conjuntos onde f(x,y)=c, ou seja
[y = x + c]
Elas são famílias de retas paralelas à reta y=x, cada valor de c desloca a reta. No plano xy esboce várias retas y=x+c para diferentes c.

Resposta

Domínio: R²
Imagem: R
Gráfico: plano em R³ dado por z=y−x, de inclinação −1 em x e +1 em y
Curvas de nível: retas y=x+c, c∈R, paralelas a y=x

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