Para cada uma das funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
(b) f(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede: para a função f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}} determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
Informações dadas que vamos usar: a função \;f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}\;.
O que precisamos encontrar explicitamente: \;f_{x},\;f_{y},\;f_{xx},\;f_{yy},\;f_{xy} (e verificar que \;f_{xy}=f_{yx}).

Passo 2

Conceito rápido e prático de derivada parcial (pra você lembrar na prova): a derivada parcial de f em relação a x, escrita f_{x}, é a derivada de f tratando y como constante — ou seja, passo a passo eu derivo só a parte que contém x. O mesmo vale para f_{y}, tratando x como constante. Na prática isso significa aplicar as regras de derivação (cadeia, produto, etc.) normalmente, mas mantendo o outro símbolo fixo.

Passo 3

Identificar uma forma útil pra aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como composição
f(x,y)=e^{g(x,y)}
onde
g(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
A regra da cadeia diz que, para f=e^{g},
f_{x}=e^{g}\cdot g_{x},\qquad f_{y}=e^{g}\cdot g_{y}.
Agora calculemos g_{x} e g_{y}: derivando g relativamente a x (tratando y como constante),
g_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}-y^{2})=-2x,
e relativamente a y,
g_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(-x^{2}-y^{2})=-2y.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de primeira ordem:
f_{x}=e^{g}\cdot g_{x}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
f_{y}=e^{g}\cdot g_{y}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Interpretação rápida: cada derivada puxa um fator -2 e a variável correspondente ( x ou y ), e mantém o mesmo exponencial.

Passo 5

Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Para f_{xx} diferenciamos f_{x} em relação a x. Observação: f_{x}=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}} é produto de duas funções de x: u(x,y)=-2x e v(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}. Usamos a regra do produto:
(u v)_{x}=u_{x}v+u v_{x}.
Calculemos as peças:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2,
e, pela regra da cadeia, como já vimos,
v_{x}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 6

Agora montamos f_{xx}:
f_{xx}=u_{x}v+u v_{x}=(-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}+(-2x)\cdot(-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}).
Simplificando:
f_{xx}=-2e^{-x^{2}-y^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}-y^{2}}=(4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 7

Fazemos f_{yy} de forma análoga: partimos de f_{y}=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}. Usamos a regra do produto com u(y)=-2y e v=e^{-x^{2}-y^{2}}. Temos
u_{y}=-2,
e
v_{y}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Portanto
f_{yy}=u_{y}v+u v_{y}=(-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}+(-2y)\cdot(-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}),
ou seja
f_{yy}=(4y^{2}-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 8

Calculando a derivada mista f_{xy}: derivamos f_{x}=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}} em relação a y. Agora, ao derivar em relação a y, o fator -2x é constante (pois trata-se de derivada parcial em y), então só precisamos derivar o exponencial. Usando produto (mas aqui u=-2x tem derivada zero em y):
f_{xy}=(-2x) \cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x^{2}-y^{2}}\bigr)=(-2x)\cdot\bigl(e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\bigr).
Portanto
f_{xy}=4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 9

Por simetria e pelo teorema de Clairaut (que vale aqui porque a função é suave), devemos ter f_{xy}=f_{yx}. Se você quiser conferir, derivando f_{y}=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}} em relação a x recebe-se o mesmo resultado:
f_{yx}=4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Resposta

f_{x}=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}
f_{y}=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}
f_{xx}=(4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}
f_{yy}=(4y^{2}-2)\,e^{-x^{2}-y^{2}}
f_{xy}=f_{yx}=4xy\,e^{-x^{2}-y^{2}}

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