Para cada uma das funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: para a função
determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem.
Informações dadas que vamos usar: a função .
O que precisamos encontrar explicitamente: (e verificar que
).
Informações dadas que vamos usar: a função
O que precisamos encontrar explicitamente:
Passo 2
Conceito rápido e prático de derivada parcial (pra você lembrar na prova): a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, é a derivada de
tratando
como constante — ou seja, passo a passo eu derivo só a parte que contém
. O mesmo vale para
, tratando
como constante. Na prática isso significa aplicar as regras de derivação (cadeia, produto, etc.) normalmente, mas mantendo o outro símbolo fixo.
Passo 3
Identificar uma forma útil pra aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como composição
onde
A regra da cadeia diz que, para
,
Agora calculemos
e
: derivando
relativamente a
(tratando
como constante),
e relativamente a
,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de primeira ordem:
Interpretação rápida: cada derivada puxa um fator
e a variável correspondente (
ou
), e mantém o mesmo exponencial.
Passo 5
Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Para
diferenciamos
em relação a
. Observação:
é produto de duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto:
Calculemos as peças:
e, pela regra da cadeia, como já vimos,
Passo 6
Agora montamos
:
Simplificando:
Passo 7
Fazemos
de forma análoga: partimos de
. Usamos a regra do produto com
e
. Temos
e
Portanto
ou seja
Passo 8
Calculando a derivada mista
: derivamos
em relação a
. Agora, ao derivar em relação a
, o fator
é constante (pois trata-se de derivada parcial em
), então só precisamos derivar o exponencial. Usando produto (mas aqui
tem derivada zero em
):
Portanto
Passo 9
Por simetria e pelo teorema de Clairaut (que vale aqui porque a função é suave), devemos ter
. Se você quiser conferir, derivando
em relação a
recebe-se o mesmo resultado: