Seja I um intervalo da reta e \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma função duas vezes derivável em I. Suponha que
|\gamma(t)|=\sqrt{t}, \quad \forall t \geq 0
Mostre que para t \geq 0 :
\gamma^{\prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)=-\gamma(t) \cdot \gamma^{\prime \prime}(t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade concreta.
Dados:
  • I é um intervalo da reta.
  • \gamma: I \to \mathbb{R}^3 é duas vezes derivável em I.
  • Para todo t\ge 0 vale |\gamma(t)|=\sqrt{t}.
Pedido:
  • Mostrar que, para todo t\ge 0,
\gamma^{\prime}(t)\cdot\gamma^{\prime}(t)=-\gamma(t)\cdot\gamma^{\prime\prime}(t).

Passo 2

Primeira observação útil: o quadrado da norma de um vetor é o produto escalar do vetor por si mesmo. Assim, a hipótese |\gamma(t)|=\sqrt{t} implica, ao elevar ao quadrado, que
\gamma(t)\cdot\gamma(t)=t,\qquad \forall t\ge 0.
Aqui usei a identidade |\gamma(t)|^{2}=\gamma(t)\cdot\gamma(t).

Passo 3

Vamos derivar a igualdade \gamma(t)\cdot\gamma(t)=t em relação a t. Para isso preciso lembrar a regra de derivação do produto no contexto do produto escalar: se u(t) e v(t) são vetores diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)\cdot v(t)\big)=u'(t)\cdot v(t)+u(t)\cdot v'(t).
Aplicando com u=v=\gamma (e usando que \gamma é diferenciável), obtemos
\frac{d}{dt}\big(\gamma(t)\cdot\gamma(t)\big)=\gamma'(t)\cdot\gamma(t)+\gamma(t)\cdot\gamma'(t)=2\,\gamma(t)\cdot\gamma'(t).
Do outro lado, \frac{d}{dt}t=1. Portanto:
2\,\gamma(t)\cdot\gamma'(t)=1.
Isto dá
\gamma(t)\cdot\gamma'(t)=\tfrac{1}{2},\qquad \forall t\ge 0.

Passo 4

Agora derivamos novamente a igualdade \gamma(t)\cdot\gamma'(t)=\tfrac{1}{2}. À esquerda aplicamos de novo a regra do produto (agora entre \gamma e \gamma'):
\frac{d}{dt}\big(\gamma(t)\cdot\gamma'(t)\big)=\gamma'(t)\cdot\gamma'(t)+\gamma(t)\cdot\gamma''(t).
À direita, a derivada de \tfrac{1}{2} é 0. Logo
\gamma'(t)\cdot\gamma'(t)+\gamma(t)\cdot\gamma''(t)=0.

Passo 5

Rearranjando a igualdade obtida no passo anterior, isolamos o termo pedido:
\gamma'(t)\cdot\gamma'(t)=-\gamma(t)\cdot\gamma''(t),\qquad \forall t\ge 0.
Isso conclui a demonstração. Nota: a validade das derivações usou que \gamma é duas vezes derivável, garantindo existência e continuidade (quando necessário) das derivadas.

Resposta

\gamma^{\prime}(t)\cdot\gamma^{\prime}(t)=-\gamma(t)\cdot\gamma^{\prime\prime}(t)

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