Seja
um intervalo da reta e
uma função duas vezes derivável em
. Suponha que
Mostre que para
:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade concreta.
Dados:
-
é um intervalo da reta. -
é duas vezes derivável em . - Para todo
vale .
Pedido:
- Mostrar que, para todo
,
Passo 2
Primeira observação útil: o quadrado da norma de um vetor é o produto escalar do vetor por si mesmo. Assim, a hipótese
implica, ao elevar ao quadrado, que
Aqui usei a identidade
.
Passo 3
Vamos derivar a igualdade
em relação a
. Para isso preciso lembrar a regra de derivação do produto no contexto do produto escalar: se
e
são vetores diferenciáveis, então
Aplicando com
(e usando que
é diferenciável), obtemos
Do outro lado,
. Portanto:
Isto dá
Passo 4
Agora derivamos novamente a igualdade
. À esquerda aplicamos de novo a regra do produto (agora entre
e
):
À direita, a derivada de
é
. Logo
Passo 5
Rearranjando a igualdade obtida no passo anterior, isolamos o termo pedido:
Isso conclui a demonstração. Nota: a validade das derivações usou que
é duas vezes derivável, garantindo existência e continuidade (quando necessário) das derivadas.