Para cada uma das funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
(d) f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)’
determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar: \;f_x,\;f_y,\;f_z\ (derivadas parciais de primeira ordem) e \;f_{xx},\;f_{yy},\;f_{zz},\;f_{xy},\;f_{xz},\;f_{yz}\ (derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as mistas).
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x,y,z. Não há restrição de domínio além do óbvio (toda \mathbb{R}^3).
Passo 2
Vamos organizar e lembrar a ferramenta principal: a regra da cadeia para funções compostas. Se definimos a função escalar intermediária
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
então f(x,y,z)=\sin\bigl(u(x,y,z)\bigr). A regra da cadeia multivariável diz que, para derivar f em relação a x,
Comentário curto de interpretação: cada derivada parcial é o gradiente da \sin avaliado no interior, multiplicado pela derivada do interior — por isso aparece o fator 2x,2y,2z.
Passo 4
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Para cada uma precisamos aplicar produto e cadeia quando necessário. Vou explicar a regra de produto aplicada aqui: se g(x)=p(x)\,q(x) então g'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x). Em derivadas parciais procedemos igual, tratando as outras variáveis como constantes.
Começando por f_{xx}. Temos f_x=2x\cos(u). Derivando em relação a x:
Derivada de 2x em relação a x é 2.
Derivada de \cos(u) em relação a x usa a cadeia: \frac{\partial}{\partial x}\cos(u)=-\sin(u)\cdot u_x=-\sin(u)\cdot 2x.
Observação: se as segundas derivadas forem contínuas (o que ocorre aqui, já que f é C^{\infty}), então f_{yx}=f_{xy}, f_{zx}=f_{xz}, f_{zy}=f_{yz} (teorema de Clairaut). Isso confirma consistência dos resultados.