Para cada uma das funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
(d) f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para a função
f(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
determinar as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem. Ou seja, precisamos encontrar:
\;f_x,\;f_y,\;f_z\ (derivadas parciais de primeira ordem) e
\;f_{xx},\;f_{yy},\;f_{zz},\;f_{xy},\;f_{xz},\;f_{yz}\ (derivadas parciais de segunda ordem, incluindo as mistas).
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x,y,z. Não há restrição de domínio além do óbvio (toda \mathbb{R}^3).

Passo 2

Vamos organizar e lembrar a ferramenta principal: a regra da cadeia para funções compostas. Se definimos a função escalar intermediária
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
então f(x,y,z)=\sin\bigl(u(x,y,z)\bigr). A regra da cadeia multivariável diz que, para derivar f em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{du}\bigl(\sin(u)\bigr)\Big|_{u=u(x,y,z)} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui \frac{d}{du}\bigl(\sin(u)\bigr)=\cos(u). Também calculamos as derivadas parciais do u:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=2z.
Essa é a parte “mecânica”: derivar o exterior ( \sin) e multiplicar pela derivada do interior ( u) em relação à variável em questão.

Passo 3

Agora aplicamos isso para obter as derivadas parciais de primeira ordem, mostrando passo a passo.
Para f_x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\sin\bigl(u(x,y,z)\bigr)=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot u_x.
Substituindo u_x=2x e u=x^{2}+y^{2}+z^{2},
f_x=2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Analogamente, para f_y:
f_y=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot u_y =2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
E para f_z:
f_z=\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\cdot u_z =2z\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Comentário curto de interpretação: cada derivada parcial é o gradiente da \sin avaliado no interior, multiplicado pela derivada do interior — por isso aparece o fator 2x,2y,2z.

Passo 4

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem. Para cada uma precisamos aplicar produto e cadeia quando necessário. Vou explicar a regra de produto aplicada aqui: se g(x)=p(x)\,q(x) então g'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x). Em derivadas parciais procedemos igual, tratando as outras variáveis como constantes.
Começando por f_{xx}. Temos f_x=2x\cos(u). Derivando em relação a x:
  • Derivada de 2x em relação a x é 2.
  • Derivada de \cos(u) em relação a x usa a cadeia: \frac{\partial}{\partial x}\cos(u)=-\sin(u)\cdot u_x=-\sin(u)\cdot 2x.
Aplicando produto:
f_{xx}=2\cos(u) + 2x\bigl(-\sin(u)\cdot 2x\bigr).
Simplificando e substituindo u=x^{2}+y^{2}+z^{2},
f_{xx}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Pelo mesmo raciocínio, trocando x por y ou z, obtemos:
f_{yy}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4y^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
f_{zz}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4z^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 5

Agora as derivadas mistas. Por exemplo f_{xy}=\partial_y(f_x). Lembrando f_x=2x\cos(u) e tratando x como constante ao derivar em relação a y:
  • A derivada de 2x em relação a y é 0.
  • Resta 2x vezes a derivada de \cos(u) em relação a y, que é -\sin(u)\cdot u_y=-\sin(u)\cdot 2y.
Logo
f_{xy}=2x\bigl(-\sin(u)\cdot 2y\bigr)=-4xy\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Do mesmo modo:
f_{xz}=-4xz\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
f_{yz}=-4yz\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Observação: se as segundas derivadas forem contínuas (o que ocorre aqui, já que f é C^{\infty}), então f_{yx}=f_{xy}, f_{zx}=f_{xz}, f_{zy}=f_{yz} (teorema de Clairaut). Isso confirma consistência dos resultados.

Resposta

f_x=2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_y=2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_z=2z\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{xx}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4x^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{yy}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4y^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{zz}=2\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)-4z^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{xy}=f_{yx}=-4xy\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{xz}=f_{zx}=-4xz\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
f_{yz}=f_{zy}=-4yz\sin\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)

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