Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, para essa função:
- Determinar o domínio de
. - Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
- Encontrar pontos de inflexão e estudar a concavidade (regiões côncava para cima e para baixo).
- Determinar onde a função cresce e onde decresce.
- Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais (ou oblíquas).
- Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (intervalo de valores atingidos por
).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é explicitamente
definida inicialmente por expressão racional. - Não há outras restrições fornecidas; tudo dependerá da análise algébrica da expressão acima.
Passo 2
Domínio e simetrias (informações básicas).
- O denominador é
. Como para todo , não há pontos onde o denominador zere. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
- Verificação rápida de simetria: para
,
Portanto
é ímpar (simetria central em relação à origem). Isso ajuda: tudo que for encontrado para
tem imagem simétrica negativa para
.
Passo 3
Cálculo da derivada primeira
(para estudar crescimento/decrescimento e pontos críticos).
Usa-se a regra do quociente. Seja e
. Então
Usa-se a regra do quociente. Seja
Aplicando a regra do quociente,
Agora simplificar o numerador:
Portanto
Passo 4
Análise do sinal de
e monotonicidade.
- Observe que
para todo . O fator também é sempre positivo. O fator e é igual a zero só em . - Assim
para todo , com igualdade somente em .
Conclusão sobre monotonicidade: - A derivada não fica negativa em nenhum ponto; logo
é não-decrescente em . - Mais: não existem dois pontos
com (isso pode ser visto usando a imparidade e o Teorema de Rolle: a única possibilidade para ter seria que exista com , ou seja ; daí simetria e continuidade levam à impossibilidade exceto no caso degenerado ). Portanto é estritamente crescente em . - Intervalos de crescimento:
é estritamente crescente em . Não há intervalos de decrescimento.
Passo 5
Pontos críticos e classificação (máx./mín. relativos e absolutos).
- Pontos críticos onde
ocorrem quando , isto é, em . - Em
temos . Mas, como vimos, é estritamente crescente em toda a reta, então não é nem máximo nem mínimo relativo (nem absoluto). É um ponto estacionário, contudo. - Conclusão: não há máximos nem mínimos relativos nem absolutos (a função é não limitada superior e inferiormente; ver passos seguintes).
Passo 6
Cálculo da derivada segunda
(para estudar concavidade e pontos de inflexão).
Partimos de . Usando regra do quociente novamente, com
e
,
Partimos de
Então
Fazendo as multiplicações e simplificações (fatorando um
que aparece em todos os termos) obtém-se, após simplificar,
(Essa forma é conveniente para analisar sinais: denominador sempre positivo; numerador é
.)
Passo 7
Análise da concavidade e pontos de inflexão.
- Zeros de
ocorrem quando , ou seja e . - Sinal de
: - Para
: e ⇒ produto . Então (côncava para cima). - Para
: e ⇒ produto . Então (côncava para baixo). - Para
: e ⇒ produto . Então (côncava para cima). - Para
: e ⇒ produto . Então (côncava para baixo).
- Para
- Assim os intervalos de concavidade são:
- Côncava para cima em
e em . - Côncava para baixo em
e em .
- Côncava para cima em
- Os pontos onde a concavidade troca de sinal são pontos de inflexão:
. - Calcular valores de
nesses pontos:
- Calcular valores de
- Portanto os pontos de inflexão são
- Observação: o ponto
é uma inflexão com tangente horizontal (pois ).
Passo 8
Assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas).
- Assíntotas verticais: existem quando o denominador zera sem que o numerador zere simultaneamente. Aqui
para todo , logo NÃO há assíntotas verticais. - Para assíntota horizontal ou oblíqua, analisar comportamento em
. - Graus: numerador tem grau
, denominador grau . Como grau do numerador é exatamente um maior que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua (reta do tipo ). - Fazer divisão polinomial: dividir
por : Logo - O termo que sobra
tende a quando , pois o denominador cresce como e o numerador como . Assim - Conclusão: existe assíntota oblíqua
. Não há assíntotas horizontais (a oblíqua domina).
- Graus: numerador tem grau
- Resumo das assíntotas:
- Assíntota oblíqua:
. - Sem assíntotas verticais nem horizontais.
- Assíntota oblíqua:
Passo 9
Comportamento aos extremos e imagem (intervalo de valores).
- Limites nas extremidades:
pois para grandes , . - Como
é contínua em , estritamente crescente e tem limites nas extremidades, ela é uma bijeção contínua de sobre . - Logo a imagem (conjunto de valores assumidos) é
Passo 10
Descrição (rascunho) do gráfico — pontos e formato para traçar à mão.
- Pontos importantes:
- Passa pela origem
(ponto de inflexão com tangente horizontal). - Pontos de inflexão em
. - Para
grande, a curva aproxima a reta (assíntota oblíqua).
- Passa pela origem
- Formato geral:
- Função ímpar: o ramo para
é o espelho simétrico (rotacionado 180°) do ramo para . - É estritamente crescente: sobe constantemente da esquerda para a direita.
- Tem curvatura alternada (s-shaped): côncava para cima até
, depois para baixo até , depois para cima até , depois para baixo novamente. - No infinito positivo, aproxima-se da reta
por baixo (o termo de correção é pequeno e negativo para ), e analogamente para o infinito negativo aproxima-se de .
- Função ímpar: o ramo para
- Instrução para desenhar à mão: trace a reta
como referência; desenhe uma curva que passe por , com tangente horizontal aí, leve inflexão em e , sempre subindo, e que para grandes fique muito próxima de .
Resposta
Domínio:
Crescimento/decrescimento: é estritamente crescente em
(não há intervalos de decrescimento).
Pontos críticos e extremos: único ponto crítico em com
; não é máximo nem mínimo (nenhum máximo/minimo relativo ou absoluto).
Concavidade: côncava para cima em e em
; côncava para baixo em
e em
.
Pontos de inflexão: .
Assíntotas: sem assíntotas verticais nem horizontais; assíntota oblíqua .
Imagem: .
Crescimento/decrescimento:
Pontos críticos e extremos: único ponto crítico em
Concavidade: côncava para cima em
Pontos de inflexão:
Assíntotas: sem assíntotas verticais nem horizontais; assíntota oblíqua
Imagem: