Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1} e pede, para essa função:
  • Determinar o domínio de f.
  • Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
  • Encontrar pontos de inflexão e estudar a concavidade (regiões côncava para cima e para baixo).
  • Determinar onde a função cresce e onde decresce.
  • Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais (ou oblíquas).
  • Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (intervalo de valores atingidos por f).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é explicitamente \;f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\; definida inicialmente por expressão racional.
  • Não há outras restrições fornecidas; tudo dependerá da análise algébrica da expressão acima.

Passo 2

Domínio e simetrias (informações básicas).
  • O denominador é x^{2}+1. Como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, não há pontos onde o denominador zere. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Verificação rápida de simetria: para -x,
f(-x)=\frac{(-x)^{3}}{(-x)^{2}+1}=\frac{-x^{3}}{x^{2}+1}=-f(x).
Portanto f é ímpar (simetria central em relação à origem). Isso ajuda: tudo que for encontrado para x>0 tem imagem simétrica negativa para x<0.

Passo 3

Cálculo da derivada primeira f'(x) (para estudar crescimento/decrescimento e pontos críticos).
Usa-se a regra do quociente. Seja N(x)=x^{3} e D(x)=x^{2}+1. Então
N'(x)=3x^{2},\qquad D'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente,
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}} =\frac{3x^{2}(x^{2}+1)-x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora simplificar o numerador:
3x^{2}(x^{2}+1)-2x^{4}=3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}=x^{4}+3x^{2}.
Portanto
\boxed{\,f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}(x^{2}+3)}{(x^{2}+1)^{2}}\,}.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) e monotonicidade.
  • Observe que (x^{2}+1)^{2}>0 para todo x. O fator (x^{2}+3)>0 também é sempre positivo. O fator x^{2}\ge0 e é igual a zero só em x=0.
  • Assim f'(x)\ge0 para todo x, com igualdade somente em x=0.
    Conclusão sobre monotonicidade:
  • A derivada não fica negativa em nenhum ponto; logo f é não-decrescente em \mathbb{R}.
  • Mais: não existem dois pontos a<b com f(a)=f(b) (isso pode ser visto usando a imparidade e o Teorema de Rolle: a única possibilidade para ter f(a)=f(b) seria que exista c\in(a,b) com f'\text{(c)}=0, ou seja c=0; daí simetria e continuidade levam à impossibilidade exceto no caso degenerado a=b). Portanto f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
  • Intervalos de crescimento: f é estritamente crescente em (-\infty,\infty). Não há intervalos de decrescimento.

Passo 5

Pontos críticos e classificação (máx./mín. relativos e absolutos).
  • Pontos críticos onde f'(x)=0 ocorrem quando x^{2}=0, isto é, em x=0.
  • Em x=0 temos f(0)=0. Mas, como vimos, f é estritamente crescente em toda a reta, então x=0 não é nem máximo nem mínimo relativo (nem absoluto). É um ponto estacionário, contudo.
  • Conclusão: não há máximos nem mínimos relativos nem absolutos (a função é não limitada superior e inferiormente; ver passos seguintes).

Passo 6

Cálculo da derivada segunda f''(x) (para estudar concavidade e pontos de inflexão).
Partimos de f'(x)=\dfrac{x^{4}+3x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}. Usando regra do quociente novamente, com N(x)=x^{4}+3x^{2} e D(x)=(x^{2}+1)^{2},
N'(x)=4x^{3}+6x,\qquad D'(x)=4x(x^{2}+1).
Então
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Fazendo as multiplicações e simplificações (fatorando um (x^{2}+1) que aparece em todos os termos) obtém-se, após simplificar,
\boxed{\,f''(x)=\dfrac{2x(3-x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}\,}.
(Essa forma é conveniente para analisar sinais: denominador sempre positivo; numerador é 2x(3-x^{2}).)

Passo 7

Análise da concavidade e pontos de inflexão.
  • Zeros de f''(x) ocorrem quando 2x(3-x^{2})=0, ou seja x=0 e x=\pm\sqrt{3}.
  • Sinal de f'':
    • Para x<-\sqrt{3}: x<0 e 3-x^{2}<0 ⇒ produto >0. Então f''(x)>0 (côncava para cima).
    • Para -\sqrt{3}<x<0: x<0 e 3-x^{2}>0 ⇒ produto <0. Então f''(x)<0 (côncava para baixo).
    • Para 0<x<\sqrt{3}: x>0 e 3-x^{2}>0 ⇒ produto >0. Então f''(x)>0 (côncava para cima).
    • Para x>\sqrt{3}: x>0 e 3-x^{2}<0 ⇒ produto <0. Então f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Assim os intervalos de concavidade são:
    • Côncava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}).
    • Côncava para baixo em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty).
  • Os pontos onde a concavidade troca de sinal são pontos de inflexão: x=-\sqrt{3},\,0,\,\sqrt{3}.
    • Calcular valores de f nesses pontos: f(0)=0.
f(\pm\sqrt{3})=\frac{(\pm\sqrt{3})^{3}}{(\sqrt{3})^{2}+1} =\frac{\pm 3\sqrt{3}}{3+1}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{4}.
  • Portanto os pontos de inflexão são \boxed{\;(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}),\quad (0,0),\quad (\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4})\; }.
  • Observação: o ponto x=0 é uma inflexão com tangente horizontal (pois f'(0)=0).

Passo 8

Assíntotas (verticais, horizontais e oblíquas).
  • Assíntotas verticais: existem quando o denominador zera sem que o numerador zere simultaneamente. Aqui x^{2}+1\neq0 para todo x, logo NÃO há assíntotas verticais.
  • Para assíntota horizontal ou oblíqua, analisar comportamento em x\to\pm\infty.
    • Graus: numerador tem grau 3, denominador grau 2. Como grau do numerador é exatamente um maior que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua (reta do tipo y=ax+b).
    • Fazer divisão polinomial: dividir x^{3} por x^{2}+1: \frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1}.Logo f(x)=x-\frac{x}{x^{2}+1}.
    • O termo que sobra -\dfrac{x}{x^{2}+1} tende a 0 quando |x|\to\infty, pois o denominador cresce como x^{2} e o numerador como x. Assim \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=0.
    • Conclusão: existe assíntota oblíqua y=x. Não há assíntotas horizontais (a oblíqua domina).
  • Resumo das assíntotas:
    • Assíntota oblíqua: y=x.
    • Sem assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 9

Comportamento aos extremos e imagem (intervalo de valores).
  • Limites nas extremidades: \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,pois para grandes |x|, f(x)\sim x.
  • Como f é contínua em \mathbb{R}, estritamente crescente e tem limites \pm\infty nas extremidades, ela é uma bijeção contínua de \mathbb{R} sobre \mathbb{R}.
  • Logo a imagem (conjunto de valores assumidos) é
\boxed{\;\text{Im}(f)=\mathbb{R}\; }.

Passo 10

Descrição (rascunho) do gráfico — pontos e formato para traçar à mão.
  • Pontos importantes:
    • Passa pela origem (0,0) (ponto de inflexão com tangente horizontal).
    • Pontos de inflexão em (\pm\sqrt{3},\pm \tfrac{3\sqrt{3}}{4}).
    • Para x grande, a curva aproxima a reta y=x (assíntota oblíqua).
  • Formato geral:
    • Função ímpar: o ramo para x>0 é o espelho simétrico (rotacionado 180°) do ramo para x<0.
    • É estritamente crescente: sobe constantemente da esquerda para a direita.
    • Tem curvatura alternada (s-shaped): côncava para cima até -\sqrt{3}, depois para baixo até 0, depois para cima até \sqrt{3}, depois para baixo novamente.
    • No infinito positivo, aproxima-se da reta y=x por baixo (o termo de correção -\dfrac{x}{x^{2}+1} é pequeno e negativo para x>0), e analogamente para o infinito negativo aproxima-se de y=x.
  • Instrução para desenhar à mão: trace a reta y=x como referência; desenhe uma curva que passe por (0,0), com tangente horizontal aí, leve inflexão em (- \sqrt{3}, -\tfrac{3\sqrt{3}}{4}) e (\sqrt{3}, \tfrac{3\sqrt{3}}{4}), sempre subindo, e que para |x| grandes fique muito próxima de y=x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Crescimento/decrescimento: f é estritamente crescente em (-\infty,\infty) (não há intervalos de decrescimento).
Pontos críticos e extremos: único ponto crítico em x=0 com f(0)=0; não é máximo nem mínimo (nenhum máximo/minimo relativo ou absoluto).
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}); côncava para baixo em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty).
Pontos de inflexão: \;(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}),\;(0,0),\;(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}).
Assíntotas: sem assíntotas verticais nem horizontais; assíntota oblíqua \;y=x.
Imagem: \mathbb{R}.

Exercícios relacionados