Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, para essa função:
- domínio de
; - pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
- pontos de inflexão;
- intervalos de crescimento e decrescimento;
- estudo da concavidade (intervalos onde é côncava para cima ou para baixo);
- existência de assíntotas verticais e/ou horizontais;
- esboço do gráfico (descrição dos traços importantes);
- imagem (conjunto de valores assumidos por
).
Informações relevantes dadas: expressão explícita de
. Não há figuras fornecidas.
Passo 2
Domínio: preciso verificar para quais
a expressão está bem definida. A expressão
é o quadrado da raiz cúbica de
, ou seja
. A raiz cúbica existe para todo número real, e ao quadrado sempre dá um número real não negativo. Portanto não há restrição de domínio: o domínio é todo
.
Passo 3
Cálculo da derivada primeira — ideia e passo a passo:
- Vou usar a regra do produto: se
então . - Aqui
e . - A derivada de
é . - Para
, uso a regra da cadeia: a derivada de é . Com temos . Logo
Aplicando a regra do produto:
Para simplificar, fatoro
(note que
):
Calculo o parêntese:
Portanto, numa forma bem reduzida:
Observação didática rápida:
tem o mesmo sinal de
(raiz cúbica preserva sinal), e
fica singular em
(derivada tende a infinito), embora
seja finita em
.
Passo 4
Pontos críticos (onde
ou
não existe):
- Zerar o numerador:
. -
não está definida quando , ou seja em . Note que pertence ao domínio, mas é indefinida aí.
Agora faço o estudo do sinal de
para classificar extremos. Como
tem o sinal de
, o sinal de
é dado por
Faço a análise por intervalos usando os pontos críticos
e
:
-
Para
: . Se (é o caso para todo ), então . Assim sinal: negativo/negativo . Logo cresce em . -
Para
: e então sinal positivo/negativo . Logo decresce em . -
Para
: e sempre que , logo . Assim cresce em .
Comportamento em
:
muda de positivo para negativo, portanto
é ponto de máximo relativo. Calculo o valor
:
Como
, podemos escrever
Comportamento em
:
passa de negativo (à esquerda de
) para positivo (à direita de
); isso indica que
é um ponto de mínimo relativo. O valor é
Observação: a derivada não existe em
(cúspide vertical do gráfico), mas a função é contínua aí e tem mínimo relativo.
Quanto a máximos/minimos absolutos:
- Não há máximo absoluto porque
. - Não há mínimo absoluto porque
.
Logo os extremos encontrados são apenas relativos.
Passo 5
Cálculo da derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Parto da forma já simplificada
Derivo usando regra do quociente ou produto; aplicando a derivação com cuidado obtemos, depois de simplificação,
Explicação didática: no numerador aparecem derivadas do numerador e do denominador originais; o denominador em potência
é sempre positivo para
(porque é potência com expoente par no sentido fracionário), e há singularidade em
(denominador zero).
Zeros e sinais de
:
- Zerar o numerador:
. - O fator
é sempre para . Assim o sinal de é o mesmo do numerador .
Portanto:
- Para
(e ), então : função côncava para baixo. - Para
, então : função côncava para cima.
Em
temos
e ocorre mudança de concavidade de negativa para positiva, logo
é ponto de inflexão. Calculo
:
Observação sobre
:
é indefinida em
, mas não há troca de concavidade em
(porque o sinal de
é negativo tanto à esquerda quanto imediatamente à direita de
até
). Logo
não é ponto de inflexão — é um ponto de mínimo com cúspide.
Passo 6
Resumo dos intervalos de monotonicidade e concavidade (aplicável na hora da prova):
-
Cresce em
e em . -
Decresce em
. -
Côncava para baixo (concavidade negativa) em
e em (ou de forma unificada: em ). -
Côncava para cima (concavidade positiva) em
.
Passo 7
Assíntotas:
-
Assíntotas verticais: para haver, a função deveria divergir para
ao se aproximar de algum do domínio. Aqui é finita em todo (em particular ), logo não há assíntotas verticais. -
Assíntotas horizontais: é preciso estudar
.
Para, e .
Para, e é negativo grande, então .
Logo não há assíntota horizontal (valores crescem em magnitude sem tender a constante).
Passo 8
Interceptos e pontos notáveis para o esboço do gráfico:
- Zeros de
(interseções com o eixo ): quando ou . Assim e são raízes. Valores: e . - Interseção com eixo
: . - Pontos críticos/altura:
- máximo relativo em
com . - mínimo relativo em
com . - ponto de inflexão em
com .
- máximo relativo em
- Comportamento para
: cresce para à direita, decresce para à esquerda.
Descrição do esboço (como desenhar rapidamente na prova): comece à esquerda com
, sobe e cruza o eixo em
, continua subindo até o máximo relativo em
, depois desce até o mínimo com cúspide em
(passando por zero), a partir de
sobe novamente; ainda é côncava para baixo até
e a seguir passa a ser côncava para cima e diverge para
.
Passo 9
Imagem (conjunto-valor):
Como e
, e
é contínua em cada intervalo e atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos, a imagem é todo
.
Como
Resposta
Domínio:
Máximos/ mínimos relativos e absolutos:
- máximo relativo em
com . - mínimo relativo em
com . - não há máximo absoluto; não há mínimo absoluto.
Ponto(s) de inflexão:
-
com .
Regiões de crescimento e decrescimento:
- cresce em
e em . - decresce em
.
Estudo da concavidade:
- côncava para baixo em
e em (ou ). - côncava para cima em
.
Assíntotas:
- sem assíntotas verticais;
- sem assíntotas horizontais.
Esboço / pontos notáveis:
- zeros em
e ; - interseção com eixo
em ; - máximo relativo em
; - mínimo relativo em
(cúspide); - inflexão em
; - comportamento:
quando e quando .
Imagem: