Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=(x+1)(x-3)^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x+1)(x-3)^{2/3}
e pede, para essa função:
  • domínio de f;
  • pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
  • pontos de inflexão;
  • intervalos de crescimento e decrescimento;
  • estudo da concavidade (intervalos onde é côncava para cima ou para baixo);
  • existência de assíntotas verticais e/ou horizontais;
  • esboço do gráfico (descrição dos traços importantes);
  • imagem (conjunto de valores assumidos por f).
Informações relevantes dadas: expressão explícita de f(x). Não há figuras fornecidas.

Passo 2

Domínio: preciso verificar para quais x a expressão está bem definida. A expressão (x-3)^{2/3} é o quadrado da raiz cúbica de x-3, ou seja (x-3)^{2/3}=\big((x-3)^{1/3}\big)^2. A raiz cúbica existe para todo número real, e ao quadrado sempre dá um número real não negativo. Portanto não há restrição de domínio: o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 3

Cálculo da derivada primeira — ideia e passo a passo:
  • Vou usar a regra do produto: se f(x)=u(x)v(x) então f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Aqui u(x)=x+1 e v(x)=(x-3)^{2/3}.
  • A derivada de u é u'(x)=1.
  • Para v, uso a regra da cadeia: a derivada de w(x)^{2/3} é \tfrac{2}{3}w(x)^{-1/3}w'(x). Com w(x)=x-3 temos w'(x)=1. Logo
v'(x)=\frac{2}{3}(x-3)^{-1/3}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=(x-3)^{2/3}+(x+1)\cdot\frac{2}{3}(x-3)^{-1/3}.
Para simplificar, fatoro (x-3)^{-1/3} (note que (x-3)^{2/3}=(x-3)^{-1/3}(x-3)):
f'(x)=(x-3)^{-1/3}\Big((x-3)+\frac{2}{3}(x+1)\Big).
Calculo o parêntese:
(x-3)+\frac{2}{3}(x+1)=\frac{1}{3}\big(3(x-3)+2(x+1)\big)=\frac{1}{3}(5x-7).
Portanto, numa forma bem reduzida:
f'(x)=\frac{5x-7}{3\,(x-3)^{1/3}}.
Observação didática rápida: (x-3)^{1/3} tem o mesmo sinal de x-3 (raiz cúbica preserva sinal), e (x-3)^{-1/3} fica singular em x=3 (derivada tende a infinito), embora f seja finita em x=3.

Passo 4

Pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe):
  • Zerar o numerador: 5x-7=0\Rightarrow x=\tfrac{7}{5}=1,4.
  • f' não está definida quando (x-3)^{1/3}=0, ou seja em x=3. Note que x=3 pertence ao domínio, mas f' é indefinida aí.
Agora faço o estudo do sinal de f' para classificar extremos. Como (x-3)^{1/3} tem o sinal de x-3, o sinal de f' é dado por
\operatorname{sgn}f'(x)=\operatorname{sgn}(5x-7)\cdot\operatorname{sgn}\big((x-3)^{-1/3}\big) =\operatorname{sgn}(5x-7)\cdot\operatorname{sgn}(x-3).
Faço a análise por intervalos usando os pontos críticos x=\tfrac{7}{5} e x=3:
  • Para x<\tfrac{7}{5}: 5x-7<0. Se x<3 (é o caso para todo x<\tfrac{7}{5}), então x-3<0. Assim sinal: negativo/negativo \Rightarrow f'(x)>0. Logo f cresce em (-\infty,\tfrac{7}{5}).
  • Para \tfrac{7}{5}<x<3: 5x-7>0 e x-3<0 então sinal positivo/negativo \Rightarrow f'(x)<0. Logo f decresce em (\tfrac{7}{5},3).
  • Para x>3: x-3>0 e 5x-7>0 sempre que x>\tfrac{7}{5}, logo f'(x)>0. Assim f cresce em (3,\infty).
Comportamento em x=\tfrac{7}{5}: f' muda de positivo para negativo, portanto x=\tfrac{7}{5} é ponto de máximo relativo. Calculo o valor f\big(\tfrac{7}{5}\big):
f\Big(\tfrac{7}{5}\Big)=\Big(\tfrac{7}{5}+1\Big)\Big(\tfrac{7}{5}-3\Big)^{2/3} =\frac{12}{5}\Big(-\frac{8}{5}\Big)^{2/3}.
Como \big(-\tfrac{8}{5}\big)^{2/3}=(\tfrac{8}{5})^{2/3}, podemos escrever
f\Big(\tfrac{7}{5}\Big)=\frac{12}{5}\cdot\bigg(\frac{8}{5}\bigg)^{2/3} =\frac{48}{5^{5/3}} \approx 3{,}283.
Comportamento em x=3: f'(x) passa de negativo (à esquerda de 3) para positivo (à direita de 3); isso indica que x=3 é um ponto de mínimo relativo. O valor é
f(3)=(3+1)\cdot 0^{2/3}=4\cdot 0=0.
Observação: a derivada não existe em 3 (cúspide vertical do gráfico), mas a função é contínua aí e tem mínimo relativo.
Quanto a máximos/minimos absolutos:
  • Não há máximo absoluto porque \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty.
  • Não há mínimo absoluto porque \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
    Logo os extremos encontrados são apenas relativos.

Passo 5

Cálculo da derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Parto da forma já simplificada
f'(x)=\frac{5x-7}{3(x-3)^{1/3}}.
Derivo usando regra do quociente ou produto; aplicando a derivação com cuidado obtemos, depois de simplificação,
f''(x)=\frac{10x-38}{9\,(x-3)^{4/3}}.
Explicação didática: no numerador aparecem derivadas do numerador e do denominador originais; o denominador em potência 4/3 é sempre positivo para x\neq3 (porque é potência com expoente par no sentido fracionário), e há singularidade em x=3 (denominador zero).
Zeros e sinais de f'':
  • Zerar o numerador: 10x-38=0\Rightarrow x=\tfrac{19}{5}=3{,}8.
  • O fator (x-3)^{4/3} é sempre >0 para x\neq3. Assim o sinal de f'' é o mesmo do numerador 10x-38.
Portanto:
  • Para x<\tfrac{19}{5} (e x\neq3), 10x-38<0 então f''(x)<0: função côncava para baixo.
  • Para x>\tfrac{19}{5}, 10x-38>0 então f''(x)>0: função côncava para cima.
Em x=\tfrac{19}{5} temos f''(x)=0 e ocorre mudança de concavidade de negativa para positiva, logo x=\tfrac{19}{5} é ponto de inflexão. Calculo f\big(\tfrac{19}{5}\big):
f\Big(\tfrac{19}{5}\Big)=\Big(\tfrac{19}{5}+1\Big)\Big(\tfrac{19}{5}-3\Big)^{2/3} =\frac{24}{5}\Big(\frac{4}{5}\Big)^{2/3} =\frac{24\cdot 4^{2/3}}{5^{5/3}}\approx 4{,}138.
Observação sobre x=3: f'' é indefinida em x=3, mas não há troca de concavidade em x=3 (porque o sinal de f'' é negativo tanto à esquerda quanto imediatamente à direita de 3 até 3{,}8). Logo x=3 não é ponto de inflexão — é um ponto de mínimo com cúspide.

Passo 6

Resumo dos intervalos de monotonicidade e concavidade (aplicável na hora da prova):
  • Cresce em (-\infty,\tfrac{7}{5}) e em (3,\infty).
  • Decresce em (\tfrac{7}{5},3).
  • Côncava para baixo (concavidade negativa) em (-\infty,3) e em (3,\tfrac{19}{5}) (ou de forma unificada: em (-\infty,\tfrac{19}{5})\setminus\{3\}).
  • Côncava para cima (concavidade positiva) em (\tfrac{19}{5},\infty).

Passo 7

Assíntotas:
  • Assíntotas verticais: para haver, a função deveria divergir para \pm\infty ao se aproximar de algum x_0 do domínio. Aqui f é finita em todo x\in\mathbb{R} (em particular f(3)=0), logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: é preciso estudar \lim_{x\to\pm\infty}f(x).
    Para x\to+\infty, (x-3)^{2/3}\sim x^{2/3} e f(x)\sim x\cdot x^{2/3}=x^{5/3}\to+\infty.
    Para x\to-\infty, (x-3)^{2/3}\sim |x|^{2/3} e x+1 é negativo grande, então f(x)\sim -|x|^{5/3}\to-\infty.
    Logo não há assíntota horizontal (valores crescem em magnitude sem tender a constante).

Passo 8

Interceptos e pontos notáveis para o esboço do gráfico:
  • Zeros de f (interseções com o eixo x): f(x)=0 quando x+1=0 ou (x-3)^{2/3}=0. Assim x=-1 e x=3 são raízes. Valores: f(-1)=0 e f(3)=0.
  • Interseção com eixo y: f(0)=(0+1)(-3)^{2/3}=3^{2/3}\approx 2{,}080.
  • Pontos críticos/altura:
    • máximo relativo em x=\tfrac{7}{5} com f(\tfrac{7}{5})\approx 3{,}283.
    • mínimo relativo em x=3 com f(3)=0.
    • ponto de inflexão em x=\tfrac{19}{5} com f(\tfrac{19}{5})\approx 4{,}138.
  • Comportamento para x\to\pm\infty: cresce para +\infty à direita, decresce para -\infty à esquerda.
Descrição do esboço (como desenhar rapidamente na prova): comece à esquerda com f\to -\infty, sobe e cruza o eixo em x=-1, continua subindo até o máximo relativo em x=\tfrac{7}{5}, depois desce até o mínimo com cúspide em x=3 (passando por zero), a partir de 3 sobe novamente; ainda é côncava para baixo até x=\tfrac{19}{5} e a seguir passa a ser côncava para cima e diverge para +\infty.

Passo 9

Imagem (conjunto-valor):
Como \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, e f é contínua em cada intervalo e atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos, a imagem é todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Máximos/ mínimos relativos e absolutos:
  • máximo relativo em x=\tfrac{7}{5} com f\big(\tfrac{7}{5}\big)=\dfrac{48}{5^{5/3}}\approx 3{,}283.
  • mínimo relativo em x=3 com f(3)=0.
  • não há máximo absoluto; não há mínimo absoluto.
Ponto(s) de inflexão:
  • x=\tfrac{19}{5} com f\big(\tfrac{19}{5}\big)=\dfrac{24\cdot 4^{2/3}}{5^{5/3}}\approx 4{,}138.
Regiões de crescimento e decrescimento:
  • cresce em (-\infty,\tfrac{7}{5}) e em (3,\infty).
  • decresce em (\tfrac{7}{5},3).
Estudo da concavidade:
  • côncava para baixo em (-\infty,3) e em (3,\tfrac{19}{5}) (ou (-\infty,\tfrac{19}{5})\setminus\{3\}).
  • côncava para cima em (\tfrac{19}{5},\infty).
Assíntotas:
  • sem assíntotas verticais;
  • sem assíntotas horizontais.
Esboço / pontos notáveis:
  • zeros em x=-1 e x=3;
  • interseção com eixo y em f(0)=3^{2/3}\approx 2{,}080;
  • máximo relativo em \big(\tfrac{7}{5},\tfrac{48}{5^{5/3}}\big);
  • mínimo relativo em (3,0) (cúspide);
  • inflexão em \big(\tfrac{19}{5},\tfrac{24\cdot 4^{2/3}}{5^{5/3}}\big);
  • comportamento: f(x)\to -\infty quando x\to -\infty e f(x)\to +\infty quando x\to +\infty.
Imagem: \mathbb{R}

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