Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
Enunciado e o que se pede (o que foi dado e as perguntas). A função fornecida é
O enunciado pede:
- Determinar o domínio de
. - Determinar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos).
- Determinar pontos de inflexão.
- Determinar regiões de crescimento e decrescimento.
- Estudar a concavidade (intervalos de concavidade para cima/baixo).
- Verificar assíntotas verticais e/ou horizontais.
- Traçar o gráfico (descrever comportamento e pontos principais).
- Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
).
Todas essas informações serão usadas na resolução.
Passo 2
Simplificação algébrica útil. Para facilitar derivação e limites, divido por
(válido para
):
Explicar por que isso ajuda: escrever
como soma de potências
e
facilita cálculo de derivadas e análise de comportamento em
e
.
Passo 3
Domínio. Apenas valores que anulam o denominador são proibidos. O denominador é
, portanto
. Logo o domínio é
Observação:
é ponto fora do domínio (possível assíntota vertical).
Passo 4
Cálculo da derivada primeira (passo-a-passo das regras). Usando
:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Juntando termos num único quociente (para facilitar análise de sinais):
Aqui cada símbolo significa:
é a variável; o numerador
é responsável por zeros da derivada;
no denominador indica pontos onde a derivada é indefinida (aqui
, já excluído do domínio).
Passo 5
Pontos críticos e análise de crescimento/decrescimento.
- Zeros de
(críticos dentro do domínio) ocorrem quando o numerador é zero:
-
é indefinida em , mas .
Avalio o sinal de
em cada intervalo formado por
,
,
,
.
Faça análise de sinal por fatoração:
.
- Para
: e numerador . Logo é decrescente em . - Para
: , mas (pois ), então numerador e denominador . Logo é crescente em . - Para
: e (pois ), então numerador e denominador . Logo é decrescente em .
Conclusão sobre extremos:
- Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), portanto há um mínimo relativo em . - Como para
a função tende a (veremos isso em limites) e para a função tende a , esse mínimo relativo é, na verdade, mínimo absoluto do problema (o menor valor atingido por ). Vamos calcular o valor.
Passo 6
Cálculo do valor em
(cálculo detalhado com frações).
Usando , para
:
Usando
Somando:
Portanto o mínimo (relativo e absoluto) é
Passo 7
Derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão). Diferencio
:
- derivada de
é , - derivada de
é .
Então
Interpretação: o denominador
para todo
, então o sinal de
é o mesmo do numerador
.
Resolver
:
Como
pertence ao domínio, é candidato a ponto de inflexão. Calculamos
nele para dar a coordenada completa do ponto de inflexão.
Passo 8
Cálculo do valor em
e verificação de troca de concavidade.
Usando para
:
Usando
Somando:
Portanto o potencial ponto de inflexão é
.
Verificação de mudança de sinal de
: como
e
,
- para
tem (concavidade para baixo); - para
(mas ) tem (concavidade para cima).
Logo há troca de concavidade em
e este é um ponto de inflexão.
Passo 9
Resumo das concavidades:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em e também em (pois para já vimos ).
Obs.: ema função não está definida (assíntota vertical), então intervalos são separados em torno de .
Passo 10
Assíntotas (cálculo de limites):
- Assíntota vertical em
: analiso limites laterais usando a forma simplificada . - Para
: e (domina), logo
- Para
: mas (o termo em domina), resultando
Portanto é assíntota vertical e a função tende a em ambas as aproximações (comportamento tipo “pico para cima” ao redor de ). - Para
- Assíntota horizontal em
: como graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
Portanto há assíntota horizontal
.
Observação interessante: existe um
finito tal que
; de fato resolve-se
, então
. Isso não impede
de ser assíntota horizontal; apenas mostra que a curva cruza essa reta.
Passo 11
Outros pontos úteis para esboçar o gráfico
- Mínimo absoluto:
. - Ponto de inflexão:
. - Assíntotas:
(vertical), (horizontal). - Interseções com o eixo
(zeros): resolver dá
aproximadamente
e
.
- Comportamento por ramos:
- Para
: (pelo lado de baixo, valores próximos a 1). - Ao aumentar
em : decresce de 1 (próximo) até o mínimo . - Em
: cresce de até quando . - Em
: vem de (em ) e decresce monotonicamente para quando .
Com esses pontos e ramos é fácil esboçar o gráfico: ramo à esquerda aproximando-se dequando , descendo até o mínimo em , voltando a subir e explodindo para em ; do lado direito parte de em e decresce assintoticamente para .
- Para
Passo 12
Imagem (conjunto de valores de
). Já vimos que existe um mínimo absoluto
e que a função atinge arbitrariamente grandes valores positivos (próximo de
vai para
). Em particular:
- Como para
, não existe máximo finito. - O menor valor finito atingido é
.
Portanto a imagem (intervalo de valores) é
Resposta
Domínio:
Pontos críticos e extremos: mínimo absoluto e relativo em
com valor
. Não há máximo absoluto finito.
Crescimento/decrescimento:
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em .
Concavidade e ponto de inflexão:
-
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em e em . - Ponto de inflexão em
.
Assíntotas:
- Assíntota vertical:
(com ). - Assíntota horizontal:
(com ).
Zeros (interseções com o eixo
):
(aprox.
e
).
Imagem (intervalo de valores):
.