Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{x^{2}+7 x+3}{x^{2}}

Passo 1

Enunciado e o que se pede (o que foi dado e as perguntas). A função fornecida é
f(x)=\frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}}.
O enunciado pede:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos).
  • Determinar pontos de inflexão.
  • Determinar regiões de crescimento e decrescimento.
  • Estudar a concavidade (intervalos de concavidade para cima/baixo).
  • Verificar assíntotas verticais e/ou horizontais.
  • Traçar o gráfico (descrever comportamento e pontos principais).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).
Todas essas informações serão usadas na resolução.

Passo 2

Simplificação algébrica útil. Para facilitar derivação e limites, divido por x^{2} (válido para x\neq0):
f(x)=\frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}} = 1+\frac{7}{x}+\frac{3}{x^{2}}.
Explicar por que isso ajuda: escrever f como soma de potências x^{-1} e x^{-2} facilita cálculo de derivadas e análise de comportamento em x\to0 e x\to\pm\infty.

Passo 3

Domínio. Apenas valores que anulam o denominador são proibidos. O denominador é x^{2}, portanto x\neq0. Logo o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Observação: x=0 é ponto fora do domínio (possível assíntota vertical).

Passo 4

Cálculo da derivada primeira (passo-a-passo das regras). Usando f(x)=1+7x^{-1}+3x^{-2}:
  • derivada de 1 é 0,
  • derivada de 7x^{-1} é -7x^{-2},
  • derivada de 3x^{-2} é -6x^{-3}.
Portanto
f'(x) = -7x^{-2}-6x^{-3} = -\frac{7}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}}.
Juntando termos num único quociente (para facilitar análise de sinais):
f'(x) = -\frac{7x+6}{x^{3}}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável; o numerador -(7x+6) é responsável por zeros da derivada; x^{3} no denominador indica pontos onde a derivada é indefinida (aqui x=0, já excluído do domínio).

Passo 5

Pontos críticos e análise de crescimento/decrescimento.
  • Zeros de f' (críticos dentro do domínio) ocorrem quando o numerador é zero:
7x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{6}{7}.
  • f' é indefinida em x=0, mas 0\notin\mathcal{D}.
Avalio o sinal de f' em cada intervalo formado por -\infty, -\tfrac{6}{7}, 0, +\infty.
Faça análise de sinal por fatoração: f'(x) = -\dfrac{7x+6}{x^{3}}.
  • Para x>0: x^{3}>0 e 7x+6>0 \Rightarrow numerador -(7x+6)<0 \Rightarrow f'(x)<0. Logo f é decrescente em (0,\infty).
  • Para -\tfrac{6}{7}<x<0: x^{3}<0, mas 7x+6>0 (pois x>-\tfrac{6}{7}), então numerador -(7x+6)<0 e denominador <0 \Rightarrow f'(x)>0. Logo f é crescente em (-\tfrac{6}{7},0).
  • Para x<-\tfrac{6}{7}: x^{3}<0 e 7x+6<0 (pois x<-\tfrac{6}{7}), então numerador -(7x+6)>0 e denominador <0 \Rightarrow f'(x)<0. Logo f é decrescente em (-\infty,-\tfrac{6}{7}).
Conclusão sobre extremos:
  • Em x=-\tfrac{6}{7} a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita), portanto há um mínimo relativo em x=-\tfrac{6}{7}.
  • Como para x\to0^\pm a função tende a +\infty (veremos isso em limites) e para x\to\pm\infty a função tende a 1, esse mínimo relativo é, na verdade, mínimo absoluto do problema (o menor valor atingido por f). Vamos calcular o valor.

Passo 6

Cálculo do valor em x=-\tfrac{6}{7} (cálculo detalhado com frações).
Usando f(x)=1+\dfrac{7}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}, para x=-\dfrac{6}{7}:
\frac{7}{x} = \frac{7}{-\tfrac{6}{7}} = 7\cdot\frac{7}{-6} = -\frac{49}{6}, \qquad \frac{3}{x^{2}} = \frac{3}{\left(\tfrac{36}{49}\right)} = 3\cdot\frac{49}{36} = \frac{147}{36}=\frac{49}{12}.
Somando:
f\!\left(-\frac{6}{7}\right)=1-\frac{49}{6}+\frac{49}{12}=\frac{12-98+49}{12}=\frac{-37}{12}.
Portanto o mínimo (relativo e absoluto) é \displaystyle f\!\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{37}{12}.

Passo 7

Derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão). Diferencio f'(x) = -7x^{-2}-6x^{-3}:
  • derivada de -7x^{-2} é 14x^{-3},
  • derivada de -6x^{-3} é 18x^{-4}.
Então
f''(x)=14x^{-3}+18x^{-4} = \frac{14x+18}{x^{4}} = \frac{2(7x+9)}{x^{4}}.
Interpretação: o denominador x^{4}>0 para todo x\neq0, então o sinal de f'' é o mesmo do numerador 7x+9.
Resolver f''(x)=0:
7x+9=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{9}{7}.
Como x=-\tfrac{9}{7} pertence ao domínio, é candidato a ponto de inflexão. Calculamos f nele para dar a coordenada completa do ponto de inflexão.

Passo 8

Cálculo do valor em x=-\tfrac{9}{7} e verificação de troca de concavidade.
Usando f(x)=1+\dfrac{7}{x}+\dfrac{3}{x^{2}} para x=-\tfrac{9}{7}:
\frac{7}{x} = \frac{7}{-\tfrac{9}{7}} = -\frac{49}{9}, \qquad \frac{3}{x^{2}} = \frac{3}{\tfrac{81}{49}} = 3\cdot\frac{49}{81}=\frac{147}{81}=\frac{49}{27}.
Somando:
f\!\left(-\frac{9}{7}\right)=1-\frac{49}{9}+\frac{49}{27}=\frac{27-147+49}{27}=\frac{-71}{27}.
Portanto o potencial ponto de inflexão é \displaystyle\left(-\frac{9}{7},-\frac{71}{27}\right).
Verificação de mudança de sinal de f'': como f''(x)=\dfrac{2(7x+9)}{x^{4}} e x^{4}>0,
  • para x<-\tfrac{9}{7} tem 7x+9<0 \Rightarrow f''(x)<0 (concavidade para baixo);
  • para x>-\tfrac{9}{7} (mas x\neq0) tem 7x+9>0 \Rightarrow f''(x)>0 (concavidade para cima).
Logo há troca de concavidade em x=-\tfrac{9}{7} e este é um ponto de inflexão.

Passo 9

Resumo das concavidades:
  • f é côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac{9}{7}).
  • f é côncava para cima em (-\tfrac{9}{7},0) e também em (0,\infty) (pois para x>0 já vimos 7x+9>0).
    Obs.: em x=0 a função não está definida (assíntota vertical), então intervalos são separados em torno de 0.

Passo 10

Assíntotas (cálculo de limites):
  • Assíntota vertical em x=0: analiso limites laterais usando a forma simplificada f(x)=1+\dfrac{7}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}.
    • Para x\to0^{+}: \dfrac{7}{x}\to+\infty e \dfrac{3}{x^{2}}\to+\infty (domina), logo
    \lim_{x\to0^{+}} f(x) = +\infty.
    • Para x\to0^{-}: \dfrac{7}{x}\to -\infty mas \dfrac{3}{x^{2}}\to +\infty (o termo em x^{-2} domina), resultando
    \lim_{x\to0^{-}} f(x) = +\infty.Portanto x=0 é assíntota vertical e a função tende a +\infty em ambas as aproximações (comportamento tipo “pico para cima” ao redor de 0).
  • Assíntota horizontal em y=1: como graus do numerador e denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1.
Portanto há assíntota horizontal y=1.
Observação interessante: existe um x finito tal que f(x)=1; de fato resolve-se f(x)=1\Rightarrow 7x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac{3}{7}, então f(-\tfrac{3}{7})=1. Isso não impede y=1 de ser assíntota horizontal; apenas mostra que a curva cruza essa reta.

Passo 11

Outros pontos úteis para esboçar o gráfico
  • Mínimo absoluto: \displaystyle\left(-\frac{6}{7},-\frac{37}{12}\right)\approx(-0{,}857,-3{,}083).
  • Ponto de inflexão: \displaystyle\left(-\frac{9}{7},-\frac{71}{27}\right)\approx(-1{,}286,-2{,}630).
  • Assíntotas: x=0 (vertical), y=1 (horizontal).
  • Interseções com o eixo x (zeros): resolver x^{2}+7x+3=0
x=\frac{-7\pm\sqrt{49-12}}{2}=\frac{-7\pm\sqrt{37}}{2},
aproximadamente x\approx-0{,}459 e x\approx-6{,}541.
  • Comportamento por ramos:
    • Para x\to-\infty: f(x)\to1 (pelo lado de baixo, valores próximos a 1).
    • Ao aumentar x em (-\infty,-\tfrac{6}{7}): f decresce de 1 (próximo) até o mínimo -\tfrac{37}{12}.
    • Em (-\tfrac{6}{7},0): f cresce de -\tfrac{37}{12} até +\infty quando x\to0^{-}.
    • Em (0,\infty): f vem de +\infty (em 0^{+}) e decresce monotonicamente para 1 quando x\to+\infty.
      Com esses pontos e ramos é fácil esboçar o gráfico: ramo à esquerda aproximando-se de y=1 quando x\to-\infty, descendo até o mínimo em x=-\tfrac{6}{7}, voltando a subir e explodindo para +\infty em x\to0^{-}; do lado direito parte de +\infty em 0^{+} e decresce assintoticamente para y=1.

Passo 12

Imagem (conjunto de valores de f). Já vimos que existe um mínimo absoluto \displaystyle f\!\left(-\frac{6}{7}\right)=-\frac{37}{12} e que a função atinge arbitrariamente grandes valores positivos (próximo de 0 vai para +\infty). Em particular:
  • Como para x\to0 f(x)\to+\infty, não existe máximo finito.
  • O menor valor finito atingido é -\dfrac{37}{12}.
Portanto a imagem (intervalo de valores) é
\operatorname{Im}(f)=\left[-\frac{37}{12},+\infty\right).

Resposta

Domínio: \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}
Pontos críticos e extremos: mínimo absoluto e relativo em x=-\dfrac{6}{7} com valor f\!\left(-\dfrac{6}{7}\right)=-\dfrac{37}{12}. Não há máximo absoluto finito.
Crescimento/decrescimento:
  • f é decrescente em \left(-\infty,-\dfrac{6}{7}\right).
  • f é crescente em \left(-\dfrac{6}{7},0\right).
  • f é decrescente em \left(0,\infty\right).
Concavidade e ponto de inflexão:
  • f é côncava para baixo em \left(-\infty,-\dfrac{9}{7}\right).
  • f é côncava para cima em \left(-\dfrac{9}{7},0\right) e em \left(0,\infty\right).
  • Ponto de inflexão em \displaystyle\left(-\frac{9}{7},-\frac{71}{27}\right).
Assíntotas:
  • Assíntota vertical: x=0 (com \lim_{x\to0^{\pm}} f(x)=+\infty).
  • Assíntota horizontal: y=1 (com \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1).
Zeros (interseções com o eixo x):
\displaystyle x=\frac{-7\pm\sqrt{37}}{2} (aprox. -6{,}541 e -0{,}459).
Imagem (intervalo de valores): \displaystyle \operatorname{Im}(f)=\left[-\frac{37}{12},+\infty\right).

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