Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=x^{6}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=x^{6}-x^{4}:
  • determinar o domínio de f;
  • encontrar pontos críticos e classificar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos);
  • encontrar pontos de inflexão;
  • determinar regiões de crescimento e decrescimento;
  • estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo);
  • verificar assíntotas verticais e horizontais;
  • traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem de f.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{6}-x^{4}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Domínio de f.
Explicação curta: polinômios são funções definidas para todo número real; não há divisão por zero nem raízes pares dentro de uma expressão que causem problema.
Portanto o domínio é
\mathbb{D}=\mathbb{R}.

Passo 3

Derivada primeira: fórmula e cálculo passo a passo.
Lembrete (regra utilizada): a regra do poder diz que \dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aplicando:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=6x^{5}-4x^{3}.
Fatorando para estudar sinais:
f'(x)=2x^{3}(3x^{2}-2).
Pontos críticos: resolvemos f'(x)=0.
2x^{3}(3x^{2}-2)=0
isso dá as soluções
x=0,\qquad 3x^{2}-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Não existe ponto onde f' seja indefinida (polinômio), então os únicos pontos críticos são x= -\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,0,\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Estudo do sinal de f'(x) → monotonicidade.
Fatorização útil: f'(x)=2x^{3}(3x^{2}-2). O termo 2 é sempre positivo. O sinal vem de x^{3} e de (3x^{2}-2).
  • Zeros relevantes em termos do sinal: x=-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\;0,\;\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
  • Escolhemos intervalos:
    1. (-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}})
    2. (-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,0)
    3. (0,\,\sqrt{\tfrac{2}{3}})
    4. (\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\infty)
Análise do sinal em cada intervalo:
  • Para x>\sqrt{\tfrac{2}{3}}: x^{3}>0 e 3x^{2}-2>0 f'(x)>0 (cresce).
  • Para 0<x<\sqrt{\tfrac{2}{3}}: x^{3}>0 e 3x^{2}-2<0 f'(x)<0 (decresce).
  • Para -\sqrt{\tfrac{2}{3}}<x<0: x^{3}<0 e 3x^{2}-2<0 ⇒ produto x^{3}(3x^{2}-2)>0 f'(x)>0 (cresce).
  • Para x<-\sqrt{\tfrac{2}{3}}: x^{3}<0 e 3x^{2}-2>0 f'(x)<0 (decresce).
Conclusão (monotonicidade):
  • f é decrescente em \bigl(-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
  • f é crescente em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,0\bigr).
  • f é decrescente em \bigl(0,\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
  • f é crescente em \bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\infty\bigr).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos) usando mudança de sinal de f' e teste da segunda derivada quando útil.
Pelo estudo do sinal de f':
  • Em x=-\sqrt{\tfrac{2}{3}} ocorre mudança de f'<0 (à esquerda) para f'>0 (à direita) ⇒ mínimo relativo.
  • Em x=0 ocorre mudança de f'>0 (à esquerda) para f'<0 (à direita) ⇒ máximo relativo.
  • Em x=\sqrt{\tfrac{2}{3}} ocorre mudança de f'<0 para f'>0 ⇒ mínimo relativo.
Agora valores das ordenadas:
Calcular f nos pontos críticos. Lembrando x^{2}=\tfrac{2}{3} x^{4}=\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}=\tfrac{4}{9} e x^{6}=\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}=\tfrac{8}{27}.
  • f(0)=0^{6}-0^{4}=0.
  • f\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)=\tfrac{8}{27}-\tfrac{4}{9}=\tfrac{8}{27}-\tfrac{12}{27}=-\tfrac{4}{27}.
Observação sobre máximos/ mínimos absolutos:
  • Como \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty (grau par e coeficiente líder positivo), não existe máximo absoluto (a função vai a +\infty).
  • Valores mínimos: os dois pontos x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} têm valor -\tfrac{4}{27}, que é o menor valor que a função atinge (não há outros críticos nem comportamentos que façam f mais baixo). Logo esses são mínimos absolutos.
Resumo da classificação:
  • Máximo relativo em x=0 com f(0)=0 (não é máximo absoluto).
  • Mínimos relativos e absolutos em x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} com f=-\tfrac{4}{27}.

Passo 6

Derivada segunda: fórmula, interpretação e pontos de inflexão.
Cálculo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{5}-4x^{3}\bigr)=30x^{4}-12x^{2}.
Fatorando:
f''(x)=6x^{2}(5x^{2}-2).
Zeros de f'': x=0 (multiplicidade 2) e 5x^{2}-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}.
Estudo do sinal de f'':
  • O fator 6x^{2} é sempre \ge 0 e só é zero em x=0.
  • O sinal depende de 5x^{2}-2:
    • Se |x|<\sqrt{\tfrac{2}{5}} então 5x^{2}-2<0 f''(x)<0 (côncava para baixo).
    • Se |x|>\sqrt{\tfrac{2}{5}} então 5x^{2}-2>0 f''(x)>0 (côncava para cima).
Pontos de inflexão: pontos onde a concavidade troca de sinal e f''(x)=0 (ou undefined). Aqui:
  • Em x=-\sqrt{\tfrac{2}{5}} a concavidade muda de côncava para cima (à esquerda) para côncava para baixo (no intervalo interno) ⇒ ponto de inflexão.
  • Em x=+\sqrt{\tfrac{2}{5}} também há troca ⇒ ponto de inflexão.
  • Em x=0 temos f''(0)=0 mas não há troca de sinal de f'' (ambos os lados próximos a 0 têm f''<0), portanto x=0 não é ponto de inflexão.
Valores em \pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}:
Calcule f\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr). Sabendo x^{2}=\tfrac{2}{5} x^{4}=\tfrac{4}{25}, x^{6}=\tfrac{8}{125}.
f\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr)=\tfrac{8}{125}-\tfrac{4}{25}=\tfrac{8}{125}-\tfrac{20}{125}=-\tfrac{12}{125}.
Conclusão:
  • Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,-\tfrac{12}{125}\bigr).
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em \bigl(-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}},\infty\bigr).
    • Côncava para baixo em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr).

Passo 7

Verificação de assíntotas.
  • Assíntotas verticais: ocorrem quando a função tende a infinito num ponto finito por divisão por zero ou log, etc. f é polinômio → não existem assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty (grau 6, coeficiente líder positivo) → não existem assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas: só surgem quando grau do numerador excede em exatamente 1 o do denominador em razão racional. Aqui função é polinomial de grau 6 — não há assíntota oblíqua que descreva +\infty. Portanto não há assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).

Passo 8

Zeros da função e comportamento próximo às raízes (informações úteis para desenhar o gráfico).
Fatorando f:
f(x)=x^{6}-x^{4}=x^{4}(x^{2}-1)=x^{4}(x-1)(x+1).
Raízes:
  • x=0 com multiplicidade 4 (par) ⇒ a curva toca o eixo x em 0 e não troca de sinal ali.
  • x=\pm1 simples (multiplicidade 1) ⇒ a curva cruza o eixo x em \pm1.
Comportamento nos extremos:
  • \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
Pontos importantes numéricos (aproximações úteis):
  • \sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx0{,}8165.
  • \sqrt{\tfrac{2}{5}}\approx0{,}6325.
  • Valores:
    • f(0)=0.
    • f(\pm1)=0.
    • f\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)=-\tfrac{4}{27}\approx-0{,}1481 (mínimos absolutos).
    • f\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr)=-\tfrac{12}{125}=-0{,}096 (pontos de inflexão).

Passo 9

Descrição do gráfico (passo a passo, como desenhar na prova):
  1. Começar em x\ll0: f(x) é grande e positivo.
  2. Em (-\infty,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}) a função é decrescente e côncava para cima; cruza o eixo em x=-1 e continua decrescendo até atingir o mínimo absoluto em x=-\sqrt{\tfrac{2}{3}} com f=-\tfrac{4}{27}.
  3. De x=-\sqrt{\tfrac{2}{3}} até x=0 a função cresce; no trecho \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{5}},0\bigr) é côncava para baixo; há ponto de inflexão em x=-\sqrt{\tfrac{2}{5}} e a curva sobe passando por x=0 tocando o eixo (mínimo/ máximo local em 0 — na verdade é máximo relativo) com f(0)=0.
  4. De x=0 até x=\sqrt{\tfrac{2}{3}} a função primeiro decresce; existe ponto de inflexão em x=\sqrt{\tfrac{2}{5}} (muda concavidade) e atinge o mínimo absoluto em x=\sqrt{\tfrac{2}{3}} com f=-\tfrac{4}{27}; cruza novamente o eixo em x=1 em sentido crescente depois do mínimo.
  5. Para x>\sqrt{\tfrac{2}{3}} a função cresce e é côncava para cima, indo para +\infty.
Esses ingredientes são suficientes para um esboço fiel: eixo vertical para grandes y positivos nos extremos, duas vales simétricos em torno de 0, máximo local em 0, raízes em -1,0,1, inflexões em \pm\sqrt{\tfrac{2}{5}}.

Passo 10

Imagem (conjunto imagem/contradomínio efetivo).
Como a função atinge o valor mínimo -\tfrac{4}{27} (em x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}) e tende a +\infty quando x\to\pm\infty, a imagem é
\operatorname{Im}(f)=\bigl[-\tfrac{4}{27},\,\infty\bigr).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Crescimento/Decrescimento:
  • f decrescente em \bigl(-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
  • f crescente em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,0\bigr).
  • f decrescente em \bigl(0,\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr).
  • f crescente em \bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\,\infty\bigr).
Pontos críticos e classificação:
  • x=-\sqrt{\tfrac{2}{3}}: mínimo relativo e absoluto, f=-\tfrac{4}{27}.
  • x=0: máximo relativo, f(0)=0.
  • x=\sqrt{\tfrac{2}{3}}: mínimo relativo e absoluto, f=-\tfrac{4}{27}.
Concavidade e inflexões:
  • f''(x)=6x^{2}(5x^{2}-2).
  • Côncava para cima em \bigl(-\infty,\,-\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr)\cup\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,\infty\bigr).
  • Côncava para baixo em \bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,\sqrt{\tfrac{2}{5}}\bigr).
  • Pontos de inflexão em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{5}},\,-\tfrac{12}{125}\bigr).
  • x=0 não é ponto de inflexão (a segunda derivada anula-se aí sem troca de concavidade).
Assíntotas: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.
Raízes/zeros: x=0 (multiplicidade 4, toca o eixo), x=\pm1 (cruza o eixo).
Imagem: \displaystyle \operatorname{Im}(f)=\bigl[-\tfrac{4}{27},\,\infty\bigr).

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