Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
- determinar o domínio de
; - encontrar pontos críticos e classificar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos);
- encontrar pontos de inflexão;
- determinar regiões de crescimento e decrescimento;
- estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo);
- verificar assíntotas verticais e horizontais;
- traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem de
.
Informações dadas: a função é
. Nada mais foi dado.
Passo 2
Domínio de
.
Explicação curta: polinômios são funções definidas para todo número real; não há divisão por zero nem raízes pares dentro de uma expressão que causem problema.
Portanto o domínio é
Passo 3
Derivada primeira: fórmula e cálculo passo a passo.
Lembrete (regra utilizada): a regra do poder diz que
.
Aplicando:
Fatorando para estudar sinais:
Pontos críticos: resolvemos
.
isso dá as soluções
Não existe ponto onde
seja indefinida (polinômio), então os únicos pontos críticos são
.
Passo 4
Estudo do sinal de
→ monotonicidade.
Fatorização útil:
. O termo
é sempre positivo. O sinal vem de
e de
.
- Zeros relevantes em termos do sinal:
. - Escolhemos intervalos:
-
Análise do sinal em cada intervalo:
- Para
: e ⇒ (cresce). - Para
: e ⇒ (decresce). - Para
: e ⇒ produto ⇒ (cresce). - Para
: e ⇒ (decresce).
Conclusão (monotonicidade):
-
é decrescente em . -
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (máximos e mínimos) usando mudança de sinal de
e teste da segunda derivada quando útil.
Pelo estudo do sinal de
:
- Em
ocorre mudança de (à esquerda) para (à direita) ⇒ mínimo relativo. - Em
ocorre mudança de (à esquerda) para (à direita) ⇒ máximo relativo. - Em
ocorre mudança de para ⇒ mínimo relativo.
Agora valores das ordenadas:
Calcular nos pontos críticos. Lembrando
⇒
e
.
Calcular
Observação sobre máximos/ mínimos absolutos:
- Como
(grau par e coeficiente líder positivo), não existe máximo absoluto (a função vai a ). - Valores mínimos: os dois pontos
têm valor , que é o menor valor que a função atinge (não há outros críticos nem comportamentos que façam mais baixo). Logo esses são mínimos absolutos.
Resumo da classificação:
- Máximo relativo em
com (não é máximo absoluto). - Mínimos relativos e absolutos em
com .
Passo 6
Derivada segunda: fórmula, interpretação e pontos de inflexão.
Cálculo:
Fatorando:
Zeros de
:
(multiplicidade
) e
.
Estudo do sinal de
:
- O fator
é sempre e só é zero em . - O sinal depende de
: - Se
então ⇒ (côncava para baixo). - Se
então ⇒ (côncava para cima).
- Se
Pontos de inflexão: pontos onde a concavidade troca de sinal e
(ou undefined). Aqui:
- Em
a concavidade muda de côncava para cima (à esquerda) para côncava para baixo (no intervalo interno) ⇒ ponto de inflexão. - Em
também há troca ⇒ ponto de inflexão. - Em
temos mas não há troca de sinal de (ambos os lados próximos a têm ), portanto não é ponto de inflexão.
Valores em
:
Calcule . Sabendo
⇒
,
.
Calcule
Conclusão:
- Pontos de inflexão em
. - Concavidade:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
.
- Côncava para cima em
Passo 7
Verificação de assíntotas.
- Assíntotas verticais: ocorrem quando a função tende a infinito num ponto finito por divisão por zero ou log, etc.
é polinômio → não existem assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais: para
, (grau , coeficiente líder positivo) → não existem assíntotas horizontais. - Assíntotas oblíquas: só surgem quando grau do numerador excede em exatamente 1 o do denominador em razão racional. Aqui função é polinomial de grau
— não há assíntota oblíqua que descreva . Portanto não há assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).
Passo 8
Zeros da função e comportamento próximo às raízes (informações úteis para desenhar o gráfico).
Fatorando
:
Raízes:
-
com multiplicidade (par) ⇒ a curva toca o eixo em e não troca de sinal ali. -
simples (multiplicidade ) ⇒ a curva cruza o eixo em .
Comportamento nos extremos:
-
.
Pontos importantes numéricos (aproximações úteis):
-
. -
. - Valores:
-
. -
. -
(mínimos absolutos). -
(pontos de inflexão).
-
Passo 9
Descrição do gráfico (passo a passo, como desenhar na prova):
- Começar em
: é grande e positivo. - Em
a função é decrescente e côncava para cima; cruza o eixo em e continua decrescendo até atingir o mínimo absoluto em com . - De
até a função cresce; no trecho é côncava para baixo; há ponto de inflexão em e a curva sobe passando por tocando o eixo (mínimo/ máximo local em — na verdade é máximo relativo) com . - De
até a função primeiro decresce; existe ponto de inflexão em (muda concavidade) e atinge o mínimo absoluto em com ; cruza novamente o eixo em em sentido crescente depois do mínimo. - Para
a função cresce e é côncava para cima, indo para .
Esses ingredientes são suficientes para um esboço fiel: eixo vertical para grandes
positivos nos extremos, duas vales simétricos em torno de
, máximo local em
, raízes em
, inflexões em
.
Passo 10
Imagem (conjunto imagem/contradomínio efetivo).
Como a função atinge o valor mínimo
(em
) e tende a
quando
, a imagem é
Resposta
Domínio:
Crescimento/Decrescimento:
-
decrescente em . -
crescente em . -
decrescente em . -
crescente em .
Pontos críticos e classificação:
-
: mínimo relativo e absoluto, . -
: máximo relativo, . -
: mínimo relativo e absoluto, .
Concavidade e inflexões:
-
. - Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Pontos de inflexão em
. -
não é ponto de inflexão (a segunda derivada anula-se aí sem troca de concavidade).
Assíntotas: não há assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.
Raízes/zeros:
(multiplicidade
, toca o eixo),
(cruza o eixo).
Imagem:
.