Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=2 x \ln ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x\ln^{2}(x) e pede:
  • domínio de f;
  • pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
  • pontos de inflexão e estudo da concavidade;
  • intervalos de crescimento e de decrescimento;
  • verificar assíntotas verticais e/ou horizontais;
  • traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto-valor) de f.
Informações relevantes dadas:
  • a função é escrita em termos de \ln(x), portanto é definida apenas onde \ln(x) existe (isso será usado para o domínio);
  • todas as demais operações são elementares (produto, potência).

Passo 2

Domínio: lembrar que \ln(x) está definido apenas para x>0. Logo, sem mais restrições, o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}=(0,\infty).
Vou trabalhar apenas em (0,\infty).

Passo 3

Derivação — regra do produto e regra da cadeia (aqui faço devagar para ficar claro).
Definição rápida (fórmulas que vou usar):
  • se g(x)=\ln(x) então g'(x)=\dfrac{1}{x};
  • regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
Escrevo f(x)=2x\bigl(\ln(x)\bigr)^2. Aplique produto com u(x)=2x e v(x)=\bigl(\ln x\bigr)^2.
  • u'(x)=2.
  • v'(x)=2\ln(x)\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\ln(x)}{x} (regra da cadeia: (\ln x)^2’ = 2\ln x\cdot(\ln x)').
Então
f'(x)=u'v+uv' = 2\bigl(\ln x\bigr)^2 + 2x\cdot\frac{2\ln x}{x}.
Simplificando o segundo termo:
f'(x)=2\bigl(\ln x\bigr)^2 + 4\ln x.
Fatorando 2\ln x:
f'(x)=2\ln x\bigl(\ln x + 2\bigr).

Passo 4

Pontos críticos: resolver f'(x)=0 no domínio (0,\infty).
A equação 2\ln x(\ln x+2)=0 dá duas possibilidades:
  • \ln x=0 \Rightarrow x=1.
  • \ln x+2=0 \Rightarrow \ln x=-2 \Rightarrow x=e^{-2}.
Não há pontos onde f' deixe de existir dentro do domínio (0,\infty) (porque f' é combinação de \ln e 1/x e está bem definida para x>0). Então os pontos críticos são x=e^{-2} e x=1.
Valores da função nesses pontos:
f(1)=2\cdot1\cdot\bigl(\ln 1\bigr)^2=0.
f(e^{-2})=2e^{-2}\bigl(\ln(e^{-2})\bigr)^2=2e^{-2}(-2)^2=2e^{-2}\cdot4=8e^{-2}.

Passo 5

Classificação de extremos usando o sinal de f' (teste da primeira derivada). Vou estudar o sinal de f'(x)=2\ln x(\ln x+2) em cada intervalo entre os pontos críticos: (0,e^{-2}), (e^{-2},1), (1,\infty).
Lembrete prático: \ln x<0 se 0<x<1, \ln x=0 se x=1, e \ln x>0 se x>1.
  • Em (0,e^{-2}): aqui \ln x<-2, então \ln x<0 e \ln x+2<0. Produto de dois negativos é positivo, logo f'(x)>0. Conclusão: f é crescente em (0,e^{-2}).
  • Em (e^{-2},1): aqui -2<\ln x<0, então \ln x<0 e \ln x+2>0. Produto negativo, logo f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente em (e^{-2},1).
  • Em (1,\infty): \ln x>0 e \ln x+2>2>0, produto positivo, logo f'(x)>0. Conclusão: f é crescente em (1,\infty).
Com esse comportamento:
  • em x=e^{-2} a função passa de crescente para decrescente → ponto de máximo relativo em x=e^{-2} com valor f(e^{-2})=8e^{-2}. Não é máximo absoluto porque a função cresce para +\infty quando x\to\infty.
  • em x=1 a função passa de decrescente para crescente → ponto de mínimo relativo. Como f(x)\ge 0 para todo x>0 (veja próximo passo) e f(1)=0, esse é mínimo absoluto (valor mínimo global 0).
Observação sobre sinal de f: para x>0, \ln^2(x)\ge0 e x>0, logo f(x)\ge0 com igualdade apenas quando \ln x=0, isto é, somente em x=1. Assim f(1)=0 é o mínimo global.

Passo 6

Segunda derivada — concavidade e pontos de inflexão.
A partir de f'(x)=2(\ln x)^2+4\ln x é mais simples derivar por termo a termo (lembrando (\ln x)'=1/x):
Derivando:
f''(x)=2\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x} + 4\cdot\frac{1}{x} = \frac{4\ln x}{x}+\frac{4}{x}=\frac{4(\ln x+1)}{x}.
Sinal de f'' e ponto de inflexão:
  • f''(x)=0 \iff \ln x +1 =0 \iff x=e^{-1}.
  • Para 0<x<e^{-1}: \ln x<-1 \ln x+1<0 f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo (côncava).
  • Para x>e^{-1}: \ln x>-1 \ln x+1>0 f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima (convexa).
Logo há ponto de inflexão em x=e^{-1}. Valor da função nesse ponto:
f(e^{-1})=2e^{-1}\bigl(\ln(e^{-1})\bigr)^2=2e^{-1}(-1)^2=2e^{-1}.

Passo 7

Assíntotas e comportamento nas extremidades do domínio.
  • Comportamento quando x\to0^+: use substituição x=e^{-t} com t\to\infty. Então
f(x)=2x\ln^2 x = 2e^{-t}(-t)^2 = 2t^2 e^{-t}.
Como t^2 e^{-t}\to0 quando t\to\infty, segue que \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=0. Portanto não existe assíntota vertical em x=0 (o limite é finito); não há assíntota vertical em nenhum ponto do domínio (0,\infty).
  • Comportamento quando x\to\infty: \ln^2 x cresce sem limite embora mais devagar que potências, mas multiplicado por x dá crescimento para +\infty. Formalmente \lim_{x\to\infty}2x\ln^2 x = +\infty. Assim não há assíntota horizontal em +\infty. Também não existe assíntota oblíqua do tipo ax+b, porque f(x) cresce mais rápido que qualquer linha (o quociente f(x)/x = 2\ln^2 x\to\infty), então não há reta aproximando a função.
Conclusão: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas no domínio considerado.

Passo 8

Descrição do gráfico (esquema qualitativo com pontos importantes — valores numéricos arredondados só para ajudar na visualização):
Pontos e valores exatos:
  • domínio: x\in(0,\infty);
  • f(0^+)=0 (limite);
  • ponto de máximo relativo: x=e^{-2}\approx0{,}1353, f(e^{-2})=8e^{-2}\approx1{,}082;
  • ponto de inflexão: x=e^{-1}\approx0{,}3679, f(e^{-1})=2e^{-1}\approx0{,}7358;
  • mínimo absoluto: x=1, f(1)=0;
  • para x>1 a função cresce indefinidamente e é côncava para cima.
Forma geral: começa em 0 quando x\to0^+, sobe (côncava para baixo) até o máximo local em x=e^{-2}, desce (ainda côncava para baixo) até cruzar uma inflexão em x=e^{-1} onde a concavidade muda para cima, atinge o mínimo absoluto em x=1 com f(1)=0, e depois sobe indefinidamente, sendo crescente e côncavo para cima para x>e^{-1}.

Passo 9

Imagem (conjunto-valor): observe que f(x)\ge0 para todo x>0, que existe x=1 com f(1)=0, e que \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty. Sendo f contínua em (0,\infty) e atingindo 0 e indo a +\infty, a imagem é
[0,\infty).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Pontos críticos e extremos:
  • máximo relativo em x=e^{-2}, valor f(e^{-2})=8e^{-2}.
  • mínimo absoluto em x=1, valor f(1)=0.
Crescimento/decrescimento:
  • f é crescente em (0,e^{-2}) e em (1,\infty).
  • f é decrescente em (e^{-2},1).
Concavidade e inflexão:
  • ponto de inflexão em x=e^{-1}, valor f(e^{-1})=2e^{-1}.
  • f é côncava para baixo em (0,e^{-1}).
  • f é côncava para cima em (e^{-1},\infty).
Assíntotas:
  • não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas) no domínio (0,\infty).
Imagem (conjunto-valor): [0,\infty)

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