Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- domínio de
; - pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
- pontos de inflexão e estudo da concavidade;
- intervalos de crescimento e de decrescimento;
- verificar assíntotas verticais e/ou horizontais;
- traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto-valor) de
.
Informações relevantes dadas:
- a função é escrita em termos de
, portanto é definida apenas onde existe (isso será usado para o domínio); - todas as demais operações são elementares (produto, potência).
Passo 2
Domínio: lembrar que
está definido apenas para
. Logo, sem mais restrições, o domínio é
Vou trabalhar apenas em
.
Passo 3
Derivação — regra do produto e regra da cadeia (aqui faço devagar para ficar claro).
Definição rápida (fórmulas que vou usar):
- se
então ; - regra do produto:
.
Escrevo
. Aplique produto com
e
.
-
. -
(regra da cadeia: ’ = ).
Então
Simplificando o segundo termo:
Fatorando
:
Passo 4
Pontos críticos: resolver
no domínio
.
A equação
dá duas possibilidades:
-
. -
.
Não há pontos onde
deixe de existir dentro do domínio
(porque
é combinação de
e
e está bem definida para
). Então os pontos críticos são
e
.
Valores da função nesses pontos:
Passo 5
Classificação de extremos usando o sinal de
(teste da primeira derivada). Vou estudar o sinal de
em cada intervalo entre os pontos críticos:
,
,
.
Lembrete prático:
se
,
se
, e
se
.
- Em
: aqui , então e . Produto de dois negativos é positivo, logo . Conclusão: é crescente em . - Em
: aqui , então e . Produto negativo, logo . Conclusão: é decrescente em . - Em
: e , produto positivo, logo . Conclusão: é crescente em .
Com esse comportamento:
- em
a função passa de crescente para decrescente → ponto de máximo relativo em com valor . Não é máximo absoluto porque a função cresce para quando . - em
a função passa de decrescente para crescente → ponto de mínimo relativo. Como para todo (veja próximo passo) e , esse é mínimo absoluto (valor mínimo global ).
Observação sobre sinal de
: para
,
e
, logo
com igualdade apenas quando
, isto é, somente em
. Assim
é o mínimo global.
Passo 6
Segunda derivada — concavidade e pontos de inflexão.
A partir de
é mais simples derivar por termo a termo (lembrando
):
Derivando:
Sinal de
e ponto de inflexão:
-
. - Para
: ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para baixo (côncava). - Para
: ⇒ ⇒ ⇒ concavidade para cima (convexa).
Logo há ponto de inflexão em
. Valor da função nesse ponto:
Passo 7
Assíntotas e comportamento nas extremidades do domínio.
- Comportamento quando
: use substituição com . Então
Como
quando
, segue que
. Portanto não existe assíntota vertical em
(o limite é finito); não há assíntota vertical em nenhum ponto do domínio
.
- Comportamento quando
: cresce sem limite embora mais devagar que potências, mas multiplicado por dá crescimento para . Formalmente . Assim não há assíntota horizontal em . Também não existe assíntota oblíqua do tipo , porque cresce mais rápido que qualquer linha (o quociente ), então não há reta aproximando a função.
Conclusão: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas no domínio considerado.
Passo 8
Descrição do gráfico (esquema qualitativo com pontos importantes — valores numéricos arredondados só para ajudar na visualização):
Pontos e valores exatos:
- domínio:
; -
(limite); - ponto de máximo relativo:
, ; - ponto de inflexão:
, ; - mínimo absoluto:
, ; - para
a função cresce indefinidamente e é côncava para cima.
Forma geral: começa em
quando
, sobe (côncava para baixo) até o máximo local em
, desce (ainda côncava para baixo) até cruzar uma inflexão em
onde a concavidade muda para cima, atinge o mínimo absoluto em
com
, e depois sobe indefinidamente, sendo crescente e côncavo para cima para
.
Passo 9
Imagem (conjunto-valor): observe que
para todo
, que existe
com
, e que
. Sendo
contínua em
e atingindo
e indo a
, a imagem é
Resposta
Domínio:
Pontos críticos e extremos:
- máximo relativo em
, valor . - mínimo absoluto em
, valor .
Crescimento/decrescimento:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Concavidade e inflexão:
- ponto de inflexão em
, valor . -
é côncava para baixo em . -
é côncava para cima em .
Assíntotas:
- não há assíntotas verticais nem horizontais (nem oblíquas) no domínio
.
Imagem (conjunto-valor):