Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede várias informações sobre a função
dada. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
- Função:
. - Perguntas que preciso responder:
- Domínio de
. - Pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
- Pontos de inflexão.
- Regiões de crescimento e de decrescimento (monotonicidade).
- Estudo da concavidade (onde é côncava para cima/para baixo).
- Verificar assíntotas verticais e/ou horizontais.
- Traçar (descrever) o gráfico: principais características (interceptos, assíntotas, extremos, inflexão).
- Determinar a imagem (conjunto-valor, range) de
.
- Domínio de
Todas as informações necessárias estão no enunciado (a expressão de
). Não há figura nem tabela externa.
Passo 2
Domínio: identificar para quais
a expressão faz sentido.
- A função tem termos
e . A operação não existe para . - Portanto
é excluído do domínio. - Conclusão: o domínio é
.
Explicação curta: sempre verificar denominadores — qualquer
que anule um denominador deve ser excluído.
Passo 3
Cálculo da derivada primeira
e explicação das regras usadas.
- Regra usada: derivada de
é . Também usei que a derivada de é e da é . - Derivando termo a termo:
- Simplificando:
Observação: a derivada também não existe em
, mas
já não pertence ao domínio.
Passo 4
Encontrar pontos críticos (onde
ou
indefinida — estes últimos já excluídos do domínio).
- Zerar
: . -
torna indefinida, mas não está no domínio, portanto não é ponto crítico do tipo “interior”. - Conclusão: o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 5
Estudo do sinal de
para determinar monotonicidade. Vou fazer uma análise de sinais por intervalos determinados por
(ponto excluído) e
.
- Fórmula:
. - Para
: , então . - Se
então (decresce). - Se
então (cresce).
- Se
- Para
: , então . - Mas para todo
temos , então . Logo para todo (cresce).
- Mas para todo
- Síntese:
-
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
-
Passo 6
Classificação de
(mínimo/máximo) usando troca de sinal de
.
- Em
temos e em temos . Derivada muda de negativa para positiva em ⇒ é ponto de mínimo local. - Valor no ponto:
- Agora decidir se é mínimo absoluto: preciso comparar com limites nos extremos do domínio.
-
(o termo domina). -
(para negativo pequeno ambos os termos são positivos grandes). -
(tende a pela esquerda). -
(tende a pela direita).
-
- Observando que fora de
os valores da função não ficam abaixo de (os limites vão para ou para que é maior que ), concluímos que o mínimo em com valor é também o mínimo absoluto (global).
Passo 7
Cálculo da derivada segunda
(para concavidade e pontos de inflexão), explicando passo a passo.
- Partindo de
, uso a regra do quociente ou simplifico o cálculo expandindo: vou derivar diretamente: - Calcule o numerador:
- Portanto
- Observação: para todo
, . Assim o sinal de é o sinal de .
Passo 8
Determinar pontos de inflexão e intervalos de concavidade a partir de
.
- Zerar
: . - Como
pertence ao domínio, é candidato a ponto de inflexão; verificar mudança de sinal de : - Para
(e ) temos ⇒ concavidade para cima (côncava para cima). - Para
temos ⇒ concavidade para baixo.
- Para
- Em particular:
-
é côncava para cima em e em . -
é côncava para baixo em .
-
- Conclusão:
é ponto de inflexão porque a concavidade muda de cima para baixo ali. - Valor no ponto de inflexão:
Passo 9
Interceptos e comportamento em pontos notáveis.
- Zeros da função (interseções com o eixo
): resolver . - Multiplicando por
(válido fora de ): . - Então
. Ponto de interseção com o eixo : .
- Multiplicando por
- Interseção com o eixo
: inexistente, porque isso exigiria (fora do domínio). - Resumo de valores importantes:
- Ponto crítico (mínimo) em
. - Ponto de inflexão em
. - Intercepto em
.
- Ponto crítico (mínimo) em
Passo 10
Estudo de assíntotas (verticais e horizontais) usando limites.
- Assíntota vertical em
? -
e . - Como a função diverge para
ao se aproximar de por ambos os lados, existe assíntota vertical .
-
- Assíntotas horizontais quando
: -
(tende a pela esquerda). -
(tende a pela direita). - Em ambos os casos a função tende a
, logo há uma assíntota horizontal .
-
- Não há outras assíntotas oblíquas (grau do numerador menor que do denominador quando se escreve em forma racional; a hipérbole dominante é de ordem
e — já capturada por ).
Passo 11
Determinação da imagem (range) da função
.
- Análise por partes:
- Em
: é contínua, , tem mínimo em cujo valor é , e mas atinge zero. Assim sobre os valores cobertos são todos os reais ; ou seja . - Em
: é contínua, e . Portanto em a imagem é .
- Em
- União das imagens:
. - Conclusão: a imagem de
é .
Passo 12
Descrição do gráfico (instruções para esboço, porque não é uma figura desenhada aqui).
- Eixos: assíntota vertical em
(linha vertical), assíntota horizontal em (eixo ). - Para
: curva crescente, côncava para cima, que vem de quando e sobe para quando . - Para
: curva que sai de quando , decresce até onde atinge o mínimo global , depois cresce; cruza o eixo em (observe que isto ocorre para entre e ), tem ponto de inflexão em onde muda de côncava para cima para côncava para baixo, e aproxima-se de por baixo quando . - Não existem máximos locais finitos; a curva é não limitada acima (tende a
próximo de ).
Resposta
Domínio:
Pontos críticos/extremos: mínimo absoluto (e local) em com
. Não há máximo absoluto nem máximos locais finitos.
Ponto de inflexão: com
.
Crescimento/decrescimento: é crescente em
e em
;
é decrescente em
.
Concavidade: é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Assíntotas: assíntota vertical ; assíntota horizontal
.
Interceptos: cruza o eixo em
; não há intercepto com o eixo
.
Imagem (range):
Pontos críticos/extremos: mínimo absoluto (e local) em
Ponto de inflexão:
Crescimento/decrescimento:
Concavidade:
Assíntotas: assíntota vertical
Interceptos: cruza o eixo
Imagem (range):