Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede várias informações sobre a função f dada. Vou listar claramente o que é pedido e o que já temos:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}.
  • Perguntas que preciso responder:
    1. Domínio de f.
    2. Pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
    3. Pontos de inflexão.
    4. Regiões de crescimento e de decrescimento (monotonicidade).
    5. Estudo da concavidade (onde é côncava para cima/para baixo).
    6. Verificar assíntotas verticais e/ou horizontais.
    7. Traçar (descrever) o gráfico: principais características (interceptos, assíntotas, extremos, inflexão).
    8. Determinar a imagem (conjunto-valor, range) de f.
Todas as informações necessárias estão no enunciado (a expressão de f). Não há figura nem tabela externa.

Passo 2

Domínio: identificar para quais x a expressão faz sentido.
  • A função tem termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{1}{x}. A operação \dfrac{1}{x} não existe para x=0.
  • Portanto x=0 é excluído do domínio.
  • Conclusão: o domínio é \left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\infty\right).
Explicação curta: sempre verificar denominadores — qualquer x que anule um denominador deve ser excluído.

Passo 3

Cálculo da derivada primeira f'(x) e explicação das regras usadas.
  • Regra usada: derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Também usei que a derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^{2}} e da \dfrac{1}{x^{2}} é -\dfrac{2}{x^{3}}.
  • Derivando termo a termo: f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right) =\left(-\frac{2}{x^{3}}\right)-\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
  • Simplificando: f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x-2}{x^{3}}.
Observação: a derivada também não existe em x=0, mas x=0 já não pertence ao domínio.

Passo 4

Encontrar pontos críticos (onde f'=0 ou f' indefinida — estes últimos já excluídos do domínio).
  • Zerar f': \dfrac{x-2}{x^{3}}=0 \iff x-2=0 \iff x=2.
  • x=0 torna f' indefinida, mas x=0 não está no domínio, portanto não é ponto crítico do tipo “interior”.
  • Conclusão: o único ponto crítico no domínio é x=2.

Passo 5

Estudo do sinal de f'(x) para determinar monotonicidade. Vou fazer uma análise de sinais por intervalos determinados por x=0 (ponto excluído) e x=2.
  • Fórmula: f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}}.
  • Para x>0: x^{3}>0, então \operatorname{sgn}(f')=\operatorname{sgn}(x-2).
    • Se 0<x<2 então x-2<0 \Rightarrow f'<0 (decresce).
    • Se x>2 então x-2>0 \Rightarrow f'>0 (cresce).
  • Para x<0: x^{3}<0, então \operatorname{sgn}(f')=-\operatorname{sgn}(x-2).
    • Mas para todo x<0 temos x-2<0, então -\operatorname{sgn}(x-2)= -(-1)=+1. Logo f'>0 para todo x<0 (cresce).
  • Síntese:
    • f é crescente em (-\infty,0).
    • f é decrescente em (0,2).
    • f é crescente em (2,\infty).

Passo 6

Classificação de x=2 (mínimo/máximo) usando troca de sinal de f'.
  • Em (0,2) temos f'<0 e em (2,\infty) temos f'>0. Derivada muda de negativa para positiva em x=2 x=2 é ponto de mínimo local.
  • Valor no ponto: f(2)=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}.
  • Agora decidir se é mínimo absoluto: preciso comparar com limites nos extremos do domínio.
    • \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)=+\infty (o termo 1/x^{2} domina).
    • \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty (para x negativo pequeno ambos os termos são positivos grandes).
    • \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=0^{-} (tende a 0 pela esquerda).
    • \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=0^{+} (tende a 0 pela direita).
  • Observando que fora de x=2 os valores da função não ficam abaixo de -\tfrac{1}{4} (os limites vão para +\infty ou para 0 que é maior que -\tfrac{1}{4}), concluímos que o mínimo em x=2 com valor -\tfrac{1}{4} é também o mínimo absoluto (global).

Passo 7

Cálculo da derivada segunda f''(x) (para concavidade e pontos de inflexão), explicando passo a passo.
  • Partindo de f'(x)=\dfrac{x-2}{x^{3}}, uso a regra do quociente ou simplifico o cálculo expandindo: vou derivar diretamente: f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x-2}{x^{3}}\right) =\frac{1\cdot x^{3}-(x-2)\cdot 3x^{2}}{x^{6}}.
  • Calcule o numerador: x^{3}-3x^{2}(x-2)=x^{3}-3x^{3}+6x^{2}=-2x^{3}+6x^{2}=2x^{2}(3-x).
  • Portanto f''(x)=\frac{2x^{2}(3-x)}{x^{6}}=\frac{2(3-x)}{x^{4}}.
  • Observação: para todo x\neq0, x^{4}>0. Assim o sinal de f'' é o sinal de 3-x.

Passo 8

Determinar pontos de inflexão e intervalos de concavidade a partir de f''(x).
  • Zerar f'': \dfrac{2(3-x)}{x^{4}}=0 \iff 3-x=0 \iff x=3.
  • Como x=3 pertence ao domínio, é candidato a ponto de inflexão; verificar mudança de sinal de f'':
    • Para x<3 (e x\neq0) temos 3-x>0 \Rightarrow f''>0 ⇒ concavidade para cima (côncava para cima).
    • Para x>3 temos 3-x<0 \Rightarrow f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Em particular:
    • f é côncava para cima em (-\infty,0) e em (0,3).
    • f é côncava para baixo em (3,\infty).
  • Conclusão: x=3 é ponto de inflexão porque a concavidade muda de cima para baixo ali.
  • Valor no ponto de inflexão: f(3)=\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{3}=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{9}.

Passo 9

Interceptos e comportamento em pontos notáveis.
  • Zeros da função (interseções com o eixo x): resolver \dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}=0.
    • Multiplicando por x^{2} (válido fora de x=0): 1-x=0 \Rightarrow x=1.
    • Então f(1)=0. Ponto de interseção com o eixo x: (1,0).
  • Interseção com o eixo y: inexistente, porque isso exigiria x=0 (fora do domínio).
  • Resumo de valores importantes:
    • Ponto crítico (mínimo) em (2,-\tfrac{1}{4}).
    • Ponto de inflexão em (3,-\tfrac{2}{9}).
    • Intercepto em (1,0).

Passo 10

Estudo de assíntotas (verticais e horizontais) usando limites.
  • Assíntota vertical em x=0?
    • \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty.
    • Como a função diverge para +\infty ao se aproximar de x=0 por ambos os lados, existe assíntota vertical x=0.
  • Assíntotas horizontais quando x\to\pm\infty:
    • \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)=0^{-} (tende a 0 pela esquerda).
    • \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=0^{+} (tende a 0 pela direita).
    • Em ambos os casos a função tende a 0, logo há uma assíntota horizontal y=0.
  • Não há outras assíntotas oblíquas (grau do numerador menor que do denominador quando se escreve em forma racional; a hipérbole dominante é de ordem 1/x e 1/x^{2} — já capturada por y=0).

Passo 11

Determinação da imagem (range) da função f.
  • Análise por partes:
    • Em (0,\infty): f é contínua, \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty, tem mínimo em x=2 cujo valor é -\tfrac{1}{4}, e \lim_{x\to+\infty} f(x)=0^{-} mas f(1)=0 atinge zero. Assim sobre (0,\infty) os valores cobertos são todos os reais \ge -\tfrac{1}{4}; ou seja \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right).
    • Em (-\infty,0): f é contínua, \lim_{x\to -\infty} f(x)=0^{+} e \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty. Portanto em (-\infty,0) a imagem é \left(0,+\infty\right).
  • União das imagens: \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right)\cup\left(0,+\infty\right)=\left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right).
  • Conclusão: a imagem de f é \left[-\tfrac{1}{4},+\infty\right).

Passo 12

Descrição do gráfico (instruções para esboço, porque não é uma figura desenhada aqui).
  • Eixos: assíntota vertical em x=0 (linha vertical), assíntota horizontal em y=0 (eixo x).
  • Para x<0: curva crescente, côncava para cima, que vem de y\to 0^{+} quando x\to -\infty e sobe para +\infty quando x\to 0^{-}.
  • Para x>0: curva que sai de +\infty quando x\to 0^{+}, decresce até x=2 onde atinge o mínimo global (2,-\tfrac{1}{4}), depois cresce; cruza o eixo x em (1,0) (observe que isto ocorre para x=1 entre 0 e 2), tem ponto de inflexão em (3,-\tfrac{2}{9}) onde muda de côncava para cima para côncava para baixo, e aproxima-se de y=0 por baixo quando x\to +\infty.
  • Não existem máximos locais finitos; a curva é não limitada acima (tende a +\infty próximo de 0).

Resposta

Domínio: \left(-\infty,0\right)\cup\left(0,\infty\right)
Pontos críticos/extremos: mínimo absoluto (e local) em x=2 com f(2)=-\dfrac{1}{4}. Não há máximo absoluto nem máximos locais finitos.
Ponto de inflexão: x=3 com f(3)=-\dfrac{2}{9}.
Crescimento/decrescimento: f é crescente em \left(-\infty,0\right) e em \left(2,\infty\right); f é decrescente em \left(0,2\right).
Concavidade: f é côncava para cima em \left(-\infty,0\right)\cup\left(0,3\right) e côncava para baixo em \left(3,\infty\right).
Assíntotas: assíntota vertical x=0; assíntota horizontal y=0.
Interceptos: cruza o eixo x em (1,0); não há intercepto com o eixo y.
Imagem (range): \left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right)

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