Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
- Determinar o domínio de
. - Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
- Determinar pontos de inflexão.
- Estudar as regiões de crescimento e decrescimento.
- Estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo).
- Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais.
- Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto imagem) de
.
Informações dadas:
- A função está explicitamente
. - A raiz quadrada
aparece; isso impõe restrições sobre (isto será usado para achar o domínio).
Passo 2
Domínio: como regra, a expressão
está definida apenas para
. Portanto o domínio de
é
Explicação curta: para qualquer
a raiz quadrada real não existe, então esses
ficam fora do domínio.
Passo 3
Derivada primeira (para estudar extremos e monotonicidade).
Regra usada: se
, então
para
. Para
multiplica-se por
.
Cálculo:
Observação sobre
:
não está definida em
(a expressão
diverge), mas
pertence ao domínio — trataremos
como ponto extremo candidato (ponto de fronteira).
Passo 4
Pontos críticos (onde
ou
não existe dentro do domínio):
- Resolver
:
-
não existe em , mas é extremidade do domínio, então é ponto a analisar.
Logo, pontos a analisar:
(fronteira) e
(crítico interior).
Passo 5
Sinal de
→ monotonicidade.
Analisamos o sinal de
para
:
- Se
então . Isso é equivalente a . - Se
então . Isso é equivalente a .
Conclusão:
-
é crescente em . -
é decrescente em . - Em
a derivada não existe, mas examinando valores e valores à direita, nota-se que para pequeno positivo (ex.: ), então é um mínimo relativo (ponto de fronteira com maior à direita). - Em
temos mudança de crescente para decrescente, portanto é um máximo relativo; como a função decresce depois e não há valores maiores, é também máximo absoluto no domínio.
Passo 6
Valores nos pontos importantes:
Comparando e usando o comportamento para
(veremos abaixo), concluímos que
é máximo absoluto e
é mínimo relativo (mas não mínimo absoluto porque a função vai a
quando
).
Passo 7
Derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão).
Regra usada: derivar
.
Cálculo:
Análise:
- Para todo
, . Logo é côncava para baixo (concavidade negativa) em todo . - Como
não muda de sinal em , NÃO existem pontos de inflexão em . - Em
a segunda derivada não está definida; também não há troca de concavidade ao passar por . Portanto não há ponto de inflexão em nem em outro lugar.
Passo 8
Assíntotas e comportamento nas fronteiras.
Definições rápidas:
- Assíntota vertical em
ocorre se quando e faz parte do fecho do domínio. - Assíntota horizontal ocorre se
tende a um valor finito quando . - Assíntota oblíqua (reta
) existe se e com finito.
Aplicando:
- Em
: finito, então NÃO há assíntota vertical em . Porém quando , isto é, a curva tem tangente vertical em (vertical tangent), não uma assíntota. - Quando
: cresce como mas o termo domina negativamente, então . Logo não há assíntota horizontal (não tende a constante).
Para verificar assíntota oblíqua:mas então o termo constante seria infinito — portanto NÃO existe assíntota oblíqua (pois o segundo limite não é finito). - Conclusão sobre assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas; existe, entretanto, tangente vertical em
.
Passo 9
Zeross e interseções com os eixos (úteis para esboço).
Resolver :
Resolver
Daí
ou
. Então interceptos com o eixo
em
e
. Observações:
- Em
, . - Em
, .
Passo 10
Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão):
- Domínio: só para
. - Pontos importantes:
(início do domínio, tangente vertical), (máximo absoluto, pico), (outra interseção com o eixo ). - Para
: função cresce (vai de até ), e é côncava para baixo — a curva sobe rapidamente no começo (tangente quase vertical) e atinge o pico em . - Para
: função decresce e continua côncava para baixo, cruza o eixo em e vai para quando . - Não há assíntotas; comportamento final é decair indefinidamente.
Desenho mental: começa emcom uma “verticalidade”, sobe curvando para cima inicialmente? (não: é côncava para baixo desde o começo) — na verdade sobe formando uma “curva voltada para baixo”, atinge o pico em e desce passando por até .
Resposta
Domínio:
Máximo relativo e absoluto: ponto
(máximo relativo e também máximo absoluto no domínio), valor máximo
.
Mínimo relativo: ponto
(mínimo relativo, ponto de fronteira). Não existe mínimo absoluto (pois
quando
).
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão (nenhum
com troca de concavidade).
Regiões de crescimento:
cresce em
.
Regiões de decrescimento:
decresce em
.
Concavidade:
é côncava para baixo em todo
(ou seja,
para
). Em
a segunda derivada não existe.
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Observação: existe tangente vertical em
(derivada tende a
quando
).
Interseções/zeros:
e
.
Imagem (conjunto imagem):