Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=2 \sqrt{x}-x

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=2\sqrt{x}-x:
  • Determinar o domínio de f.
  • Encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), se existirem.
  • Determinar pontos de inflexão.
  • Estudar as regiões de crescimento e decrescimento.
  • Estudar a concavidade (regiões côncavas para cima/baixo).
  • Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais.
  • Traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto imagem) de f.
Informações dadas:
  • A função está explicitamente f(x)=2\sqrt{x}-x.
  • A raiz quadrada \sqrt{x} aparece; isso impõe restrições sobre x (isto será usado para achar o domínio).

Passo 2

Domínio: como regra, a expressão \sqrt{x} está definida apenas para x\ge 0. Portanto o domínio de f é
[0,\infty).
Explicação curta: para qualquer x<0 a raiz quadrada real não existe, então esses x ficam fora do domínio.

Passo 3

Derivada primeira (para estudar extremos e monotonicidade).
Regra usada: se g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, então g'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0. Para 2\sqrt{x} multiplica-se por 2.
Cálculo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(2\sqrt{x}-x\big)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1,\qquad x>0.
Observação sobre x=0: f'(x) não está definida em x=0 (a expressão \dfrac{1}{\sqrt{x}} diverge), mas x=0 pertence ao domínio — trataremos x=0 como ponto extremo candidato (ponto de fronteira).

Passo 4

Pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe dentro do domínio):
  • Resolver f'(x)=0:
\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{x}}=1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=1 \quad\Rightarrow\quad x=1.
  • f' não existe em x=0, mas x=0 é extremidade do domínio, então é ponto a analisar.
Logo, pontos a analisar: x=0 (fronteira) e x=1 (crítico interior).

Passo 5

Sinal de f'(x) → monotonicidade.
Analisamos o sinal de \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 para x>0:
  • Se \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1>0 então f'(x)>0. Isso é equivalente a \dfrac{1}{\sqrt{x}}>1 \Rightarrow \sqrt{x}<1 \Rightarrow x<1.
  • Se \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1<0 então f'(x)<0. Isso é equivalente a x>1.
Conclusão:
  • f é crescente em (0,1).
  • f é decrescente em (1,\infty).
  • Em x=0 a derivada não existe, mas examinando valores f(0)=0 e valores à direita, nota-se que para x pequeno positivo f(x)>0 (ex.: f(0{,}25)=0{,}75), então x=0 é um mínimo relativo (ponto de fronteira com f maior à direita).
  • Em x=1 temos mudança de crescente para decrescente, portanto x=1 é um máximo relativo; como a função decresce depois e não há valores maiores, é também máximo absoluto no domínio.

Passo 6

Valores nos pontos importantes:
f(0)=2\sqrt{0}-0=0, \qquad f(1)=2\sqrt{1}-1=2-1=1.
Comparando e usando o comportamento para x\to\infty (veremos abaixo), concluímos que f(1)=1 é máximo absoluto e x=0 é mínimo relativo (mas não mínimo absoluto porque a função vai a -\infty quando x\to\infty).

Passo 7

Derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão).
Regra usada: derivar f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1 = x^{-1/2}-1.
Cálculo:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{-1/2}-1\big)=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad x>0.
Análise:
  • Para todo x>0, f''(x)=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}<0. Logo f é côncava para baixo (concavidade negativa) em todo (0,\infty).
  • Como f''(x) não muda de sinal em (0,\infty), NÃO existem pontos de inflexão em (0,\infty).
  • Em x=0 a segunda derivada não está definida; também não há troca de concavidade ao passar por 0. Portanto não há ponto de inflexão em x=0 nem em outro lugar.

Passo 8

Assíntotas e comportamento nas fronteiras.
Definições rápidas:
  • Assíntota vertical em x=a ocorre se f(x)\to\pm\infty quando x\to a^\pm e a faz parte do fecho do domínio.
  • Assíntota horizontal ocorre se f(x) tende a um valor finito quando x\to\pm\infty.
  • Assíntota oblíqua (reta y=mx+b) existe se \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=m e \lim_{x\to\infty}\big(f(x)-mx\big)=b com b finito.
Aplicando:
  • Em x=0: f(0)=0 finito, então NÃO há assíntota vertical em x=0. Porém f'(x)\to +\infty quando x\to 0^+, isto é, a curva tem tangente vertical em x=0 (vertical tangent), não uma assíntota.
  • Quando x\to\infty: \sqrt{x} cresce como x^{1/2} mas o termo -x domina negativamente, então f(x)\to -\infty. Logo não há assíntota horizontal (não tende a constante).
    Para verificar assíntota oblíqua: \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(-1+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)=-1,mas f(x)-(-1)x = f(x)+x = 2\sqrt{x}\to\infty,então o termo constante b seria infinito — portanto NÃO existe assíntota oblíqua (pois o segundo limite não é finito).
  • Conclusão sobre assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas; existe, entretanto, tangente vertical em x=0.

Passo 9

Zeross e interseções com os eixos (úteis para esboço).
Resolver f(x)=0:
2\sqrt{x}-x=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}(2-\sqrt{x})=0.
Daí \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0 ou \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4. Então interceptos com o eixo x em x=0 e x=4. Observações:
  • Em x=0, f(0)=0.
  • Em x=4, f(4)=0.

Passo 10

Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão):
  • Domínio: só para x\ge 0.
  • Pontos importantes: (0,0) (início do domínio, tangente vertical), (1,1) (máximo absoluto, pico), (4,0) (outra interseção com o eixo x).
  • Para 0<x<1: função cresce (vai de 0 até 1), e é côncava para baixo — a curva sobe rapidamente no começo (tangente quase vertical) e atinge o pico em (1,1).
  • Para x>1: função decresce e continua côncava para baixo, cruza o eixo x em x=4 e vai para -\infty quando x\to\infty.
  • Não há assíntotas; comportamento final é decair indefinidamente.
    Desenho mental: começa em (0,0) com uma “verticalidade”, sobe curvando para cima inicialmente? (não: é côncava para baixo desde o começo) — na verdade sobe formando uma “curva voltada para baixo”, atinge o pico em (1,1) e desce passando por (4,0) até -\infty.

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Máximo relativo e absoluto: ponto \big(1,1\big) (máximo relativo e também máximo absoluto no domínio), valor máximo 1.
Mínimo relativo: ponto \big(0,0\big) (mínimo relativo, ponto de fronteira). Não existe mínimo absoluto (pois f(x)\to-\infty quando x\to\infty).
Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão (nenhum x\in(0,\infty) com troca de concavidade).
Regiões de crescimento: f cresce em (0,1).
Regiões de decrescimento: f decresce em (1,\infty).
Concavidade: f é côncava para baixo em todo (0,\infty) (ou seja, f''(x)=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}<0 para x>0). Em x=0 a segunda derivada não existe.
Assíntotas: não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas. Observação: existe tangente vertical em x=0 (derivada tende a +\infty quando x\to0^+).
Interseções/zeros: f(0)=0 e f(4)=0.
Imagem (conjunto imagem): (-\infty,1]

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