Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede, para
:
- determinar o domínio de
; - localizar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos) e classificá‑los;
- encontrar pontos de inflexão e estudar a concavidade;
- determinar as regiões de crescimento e decrescimento;
- verificar assíntotas verticais e horizontais;
- traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Informações dadas pelo enunciado:
- A função é
Passo 2
Domínio.
A função é uma razão; o denominador não pode ser zero. Logo:
A função é uma razão; o denominador não pode ser zero. Logo:
Portanto o domínio é
Passo 3
Simplificação útil (ajuda nos derivados e na análise no infinito).
Observa-se que separamos o quociente:
Observa-se que separamos o quociente:
Essa escrita facilita cálculo de limites e derivadas porque a parte constante
é imediata e sobra uma fração simples
.
Passo 4
Derivada primeira — regra usada e cálculo.
Para estudar monotonicidade usamos a derivada. Usando a forma e a regra da cadeia: se
então
. Multiplicando por
temos
Para estudar monotonicidade usamos a derivada. Usando a forma
Explicação rápida: a derivada do termo constante é
. A derivada de
é
pela regra da cadeia.
Passo 5
Pontos críticos e sinal de
.
Pontos críticos são onde ou onde
não está definida (desde que no domínio). Temos:
Pontos críticos são onde
Os pontos
tornam
indefinida, mas também não pertencem ao domínio; são pontos de descontinuidade (assíntotas verticais). Assim, o único crítico no domínio é
. Agora o sinal de
depende do sinal de
porque
sempre (fora de
):
- Se
, então e . - Se
, então e .
Portanto:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Passo 6
Classificação do ponto crítico
.
Como passa de positivo (à esquerda de
dentro do mesmo ramo
) para negativo (à direita), isso indica que em
a função tem um máximo relativo. O valor:
Como
Então
é um máximo relativo com
.
Passo 7
Derivada segunda — cálculo e interpretação (concavidade).
A partir de aplicamos derivação por produto/regra da cadeia:
A partir de
Observação: o numerador
para todo
. Assim o sinal de
é o sinal de
, ou seja:
- Se
então e → . - Se
então e → .
Portanto:
-
é côncava para cima (concavidade positiva) em e em . -
é côncava para baixo (concavidade negativa) em .
Passo 8
Pontos de inflexão.
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde ou onde muda-se a concavidade. Aqui
implicaria
, o que não tem solução real. As únicas mudanças de concavidade ocorrem na vizinhança de
, mas
não pertencem ao domínio (são descontinuidades verticais). Logo não há pontos de inflexão no domínio. Conclusão: não existem pontos de inflexão.
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde
Passo 9
Assíntotas verticais.
Analisamos os limites laterais em torno de (pegando as informações do comportamento de
):
Analisamos os limites laterais em torno de
- Para
: , então e
- Para
: , então e
- Para
: torna , então . - Para
: torna , então .
Portanto há assíntotas verticais em
.
Passo 10
Assíntota horizontal (comportamento no infinito).
Como os polinômios do numerador e denominador têm mesmo grau (grau ), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes:
Como os polinômios do numerador e denominador têm mesmo grau (grau
Logo
é assíntota horizontal. Observação adicional: para
tem-se
então
; portanto a aproximação à assíntota ocorre sempre por valores acima de
(ou seja, aproxima-se de
por cima).
Passo 11
Interceptos e pontos importantes:
- Intercepto com o eixo
: . Logo o ponto é interseção com ambos eixos. - Não há nenhum outro zero, porque
implica . - Valores em pontos simples: por exemplo
(útil para esboço).
Passo 12
Imagem (conjunto-valor) de
. (método: parâmetro
).
Defina . Então
Defina
Resolver em
:
(para
). Para que exista
real temos
. Logo exigimos
. Analisando o sinal dessa fração com pontos críticos
e
:
- Se
, a fração é (negativo/negativo), então tais ocorrem. - Se
, dá (ocorre em ). - Se
, a fração é negativa → impossível. -
não é atingido (leva a divisão por zero), é apenas limite no infinito. - Se
, a fração é positiva → tais ocorrem.
Portanto a imagem é
Isto confirma que
está na imagem (em
) e
não é atingido (é assíntota horizontal).
Passo 13
Resumo do esboço do gráfico (descrição para traçar):
- Domínio: três ramos separados por
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
(os ramos à esquerda e à direita aproximam por cima). - Intercepto:
. - Comportamento por ramo:
- Em
: é crescente e côncava para cima; e . - Em
: é crescente e côncava para baixo; e . - Em
: é decrescente e côncava para baixo; e . - Em
: é decrescente e côncava para cima; e .
- Em
- Não existem pontos de inflexão no domínio.
- Há um máximo relativo em
com valor . Não há mínimos relativos nem máximos/minimos absolutos (a função é ilimitada positiva e negativamente devido às assíntotas).
Resposta
Domínio:
Máximos e mínimos:
Máximo relativo:
com
.
Nenhum mínimo relativo no domínio.
Nenhum máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Nenhum mínimo relativo no domínio.
Nenhum máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Pontos de inflexão: não existem (no domínio).
Regiões de crescimento e decrescimento:
Crescente em
e em
.
Decrescente em
e em
.
Concavidade:
Côncava para cima em
e em
.
Côncava para baixo em
.
Assíntotas:
Verticais:
e
.
Horizontal:
.
Imagem (conjunto-valor):