Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede, para f(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}:
  • determinar o domínio de f;
  • localizar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos) e classificá‑los;
  • encontrar pontos de inflexão e estudar a concavidade;
  • determinar as regiões de crescimento e decrescimento;
  • verificar assíntotas verticais e horizontais;
  • traçar (descrever) o gráfico e determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}.

Passo 2

Domínio.
A função é uma razão; o denominador não pode ser zero. Logo:
x^{2}-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm1.
Portanto o domínio é
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Simplificação útil (ajuda nos derivados e na análise no infinito).
Observa-se que separamos o quociente:
\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}=2+\frac{2}{x^{2}-1}.
Essa escrita facilita cálculo de limites e derivadas porque a parte constante 2 é imediata e sobra uma fração simples \dfrac{2}{x^{2}-1}.

Passo 4

Derivada primeira — regra usada e cálculo.
Para estudar monotonicidade usamos a derivada. Usando a forma \displaystyle f(x)=2+2(x^{2}-1)^{-1} e a regra da cadeia: se h(x)=(x^{2}-1)^{-1} então h'(x)=-1\cdot(x^{2}-1)^{-2}\cdot(2x). Multiplicando por 2 temos
f'(x)=-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Explicação rápida: a derivada do termo constante é 0. A derivada de (x^{2}-1)^{-1} é -1\cdot (x^{2}-1)^{-2}\cdot (2x) pela regra da cadeia.

Passo 5

Pontos críticos e sinal de f'.
Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou onde f' não está definida (desde que no domínio). Temos:
f'(x)=0 \Longleftrightarrow -4x=0 \Longleftrightarrow x=0.
Os pontos x=\pm1 tornam f' indefinida, mas também não pertencem ao domínio; são pontos de descontinuidade (assíntotas verticais). Assim, o único crítico no domínio é x=0. Agora o sinal de f' depende do sinal de -4x porque (x^{2}-1)^{2}>0 sempre (fora de \pm1):
  • Se x<0, então -4x>0 e f'(x)>0.
  • Se x>0, então -4x<0 e f'(x)<0.
Portanto:
  • f é crescente em (-\infty,-1) e em (-1,0).
  • f é decrescente em (0,1) e em (1,\infty).

Passo 6

Classificação do ponto crítico x=0.
Como f' passa de positivo (à esquerda de 0 dentro do mesmo ramo (-1,1)) para negativo (à direita), isso indica que em x=0 a função tem um máximo relativo. O valor:
f(0)=\frac{2\cdot 0^{2}}{0^{2}-1}=0.
Então x=0 é um máximo relativo com f(0)=0.

Passo 7

Derivada segunda — cálculo e interpretação (concavidade).
A partir de f'(x)=-4x(x^{2}-1)^{-2} aplicamos derivação por produto/regra da cadeia:
f''(x)=\frac{4(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Observação: o numerador 4(3x^{2}+1)>0 para todo x. Assim o sinal de f'' é o sinal de (x^{2}-1)^{3}, ou seja:
  • Se |x|>1 então x^{2}-1>0 e (x^{2}-1)^{3}>0 f''(x)>0.
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0 e (x^{2}-1)^{3}<0 f''(x)<0.
Portanto:
  • f é côncava para cima (concavidade positiva) em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • f é côncava para baixo (concavidade negativa) em (-1,1).

Passo 8

Pontos de inflexão.
Pontos de inflexão são pontos do domínio onde f''(x)=0 ou onde muda-se a concavidade. Aqui f''(x)=0 implicaria 3x^{2}+1=0, o que não tem solução real. As únicas mudanças de concavidade ocorrem na vizinhança de x=\pm1, mas x=\pm1 não pertencem ao domínio (são descontinuidades verticais). Logo não há pontos de inflexão no domínio. Conclusão: não existem pontos de inflexão.

Passo 9

Assíntotas verticais.
Analisamos os limites laterais em torno de x=\pm1 (pegando as informações do comportamento de \dfrac{2}{x^{2}-1}):
  • Para x\to1^{-}: x^{2}-1\to0^{-}, então \dfrac{2}{x^{2}-1}\to -\infty e
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty.
  • Para x\to1^{+}: x^{2}-1\to0^{+}, então \dfrac{2}{x^{2}-1}\to +\infty e
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to-1^{-}: x<-1 torna x^{2}-1\to0^{+}, então f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-1^{+}: x>-1 torna x^{2}-1\to0^{-}, então f(x)\to-\infty.
Portanto há assíntotas verticais em x=\pm1.

Passo 10

Assíntota horizontal (comportamento no infinito).
Como os polinômios do numerador e denominador têm mesmo grau (grau 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{2}{1}=2.
Logo y=2 é assíntota horizontal. Observação adicional: para |x|>1 tem-se x^{2}-1>0 então f(x)-2=\dfrac{2}{x^{2}-1}>0; portanto a aproximação à assíntota ocorre sempre por valores acima de 2 (ou seja, aproxima-se de 2 por cima).

Passo 11

Interceptos e pontos importantes:
  • Intercepto com o eixo y: f(0)=0. Logo o ponto (0,0) é interseção com ambos eixos.
  • Não há nenhum outro zero, porque f(x)=0 implica 2x^{2}=0\Rightarrow x=0.
  • Valores em pontos simples: por exemplo f(2)=\dfrac{8}{3} (útil para esboço).

Passo 12

Imagem (conjunto-valor) de f. (método: parâmetro t=x^{2}\ge0).
Defina t=x^{2}\ge0. Então
y=f(x)=\frac{2t}{t-1},\qquad t\ge0,\\ t\neq1.
Resolver em t: y(t-1)=2t \Rightarrow t(y-2)=y \Rightarrow t=\dfrac{y}{y-2} (para y\neq2). Para que exista x real temos t\ge0. Logo exigimos \dfrac{y}{y-2}\ge0. Analisando o sinal dessa fração com pontos críticos y=0 e y=2:
  • Se y<0, a fração é \ge0 (negativo/negativo), então tais y ocorrem.
  • Se y=0, dá t=0 (ocorre em x=0).
  • Se 0<y<2, a fração é negativa → impossível.
  • y=2 não é atingido (leva a divisão por zero), é apenas limite no infinito.
  • Se y>2, a fração é positiva → tais y ocorrem.
Portanto a imagem é
(-\infty,0]\\ \cup\\ (2,\infty).
Isto confirma que 0 está na imagem (em x=0) e 2 não é atingido (é assíntota horizontal).

Passo 13

Resumo do esboço do gráfico (descrição para traçar):
  • Domínio: três ramos separados por x=\pm1.
  • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
  • Assíntota horizontal: y=2 (os ramos à esquerda e à direita aproximam y=2 por cima).
  • Intercepto: (0,0).
  • Comportamento por ramo:
    • Em (-\infty,-1): f é crescente e côncava para cima; \lim_{x\to-\infty}f(x)=2^{+} e \lim_{x\to-1^{-}}f(x)=+\infty.
    • Em (-1,0): f é crescente e côncava para baixo; \lim_{x\to-1^{+}}f(x)=-\infty e f(0)=0.
    • Em (0,1): f é decrescente e côncava para baixo; f(0)=0 e \lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty.
    • Em (1,\infty): f é decrescente e côncava para cima; \lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}f(x)=2^{+}.
  • Não existem pontos de inflexão no domínio.
  • Há um máximo relativo em x=0 com valor 0. Não há mínimos relativos nem máximos/minimos absolutos (a função é ilimitada positiva e negativamente devido às assíntotas).

Resposta

Domínio: (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
Máximos e mínimos:
\displaystyle Máximo relativo: x=0 com f(0)=0.
Nenhum mínimo relativo no domínio.
Nenhum máximo absoluto nem mínimo absoluto.
Pontos de inflexão: não existem (no domínio).
Regiões de crescimento e decrescimento:
\displaystyle Crescente em (-\infty,-1) e em (-1,0).
\displaystyle Decrescente em (0,1) e em (1,\infty).
Concavidade:
\displaystyle Côncava para cima em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
\displaystyle Côncava para baixo em (-1,1).
Assíntotas:
\displaystyle Verticais: x=-1 e x=1.
\displaystyle Horizontal: y=2.
Imagem (conjunto-valor): (-\infty,0]\cup(2,\infty)

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