Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Função dada: \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}.
  • O enunciado pede:
    1. Domínio de f.
    2. Pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos).
    3. Pontos de inflexão.
    4. Regiões de crescimento e decrescimento.
    5. Estudo da concavidade (intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo).
    6. Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais.
    7. Traçar (descrever) o gráfico.
    8. Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de f.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}. Nada mais foi fornecido (sem figura). Começo a resolução a partir disso.

Passo 2

Domínio e continuidade — o que podemos afirmar imediatamente.
  • A função é quociente onde o denominador é e^{x^{2}}. Como a exponencial nunca é zero para qualquer x\in\mathbb{R}, o denominador está sempre definido e diferente de zero.
  • Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • A função é formada por polinômio e exponencial, ambas diferenciáveis em \mathbb{R}, logo f é contínua e infinitamente diferenciável em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Reescrita útil e observações imediatas (simetria, sinal).
  • É conveniente reescrever a função como
f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}.
  • Note que x^{2}\ge 0 e e^{-x^{2}}>0 para todo x. Logo f(x)\ge 0 para todo x.
  • A função é par (simétrica em relação ao eixo y), pois substituindo x por -x obtemos o mesmo valor:
f(-x)=(-x)^{2}e^{-( -x)^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}=f(x).
Isso permite estudar só x\ge 0 e refletir para x\le 0.

Passo 4

Derivada primeira — regra usada e cálculo passo a passo.
Lembrete rápido (fórmulas que vou usar):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, (uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da Cadeia: se v(x)=e^{g(x)}, então v'(x)=g'(x)e^{g(x)}.
Tomando f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}, aplico a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=e^{-x^{2}}.
  • u'(x)=2x.
  • v'(x)=(-2x)e^{-x^{2}} (por regra da cadeia: derivada de -x^{2} é -2x).
Agora
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x e^{-x^{2}} + x^{2}(-2x) e^{-x^{2}}.
Fatorando 2x e^{-x^{2}}:
\boxed{f'(x)=2x e^{-x^{2}}(1-x^{2}).}

Passo 5

Determinação dos pontos críticos (onde f'=0 ou f' indefinida).
  • Como e^{-x^{2}}>0 sempre, as raízes de f' vêm de 2x(1-x^{2})=0.
  • Resolvendo:
    • 2x=0 \Rightarrow x=0.
    • 1-x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm 1.
Não há pontos onde f' seja indefinida (pois exponencial é sempre boa). Logo os pontos críticos são x=-1,0,1.

Passo 6

Sinal da derivada e intervalos de crescimento/decrescimento (análise por intervalos).
  • Como e^{-x^{2}}>0, o sinal de f'(x) é o do fator 2x(1-x^{2}). Vamos analisar os sinais dos fatores em cada intervalo:
    • Para x<-1: x<0 e 1-x^{2}<0 \Rightarrow produto 2x(1-x^{2})>0. Logo f'(x)>0.
    • Para -1<x<0: x<0 e 1-x^{2}>0 \Rightarrow produto <0. Logo f'(x)<0.
    • Para 0<x<1: x>0 e 1-x^{2}>0 \Rightarrow produto >0. Logo f'(x)>0.
    • Para x>1: x>0 e 1-x^{2}<0 \Rightarrow produto <0. Logo f'(x)<0.
  • Conclusão sobre monotonicidade:
    • f é crescente em (-\infty,-1) e em (0,1).
    • f é decrescente em (-1,0) e em (1,\infty).

Passo 7

Classificação dos extremos (usando mudança de sinal de f').
  • Em x=-1: à esquerda de -1 f'>0 (crescente) e à direita f'<0 (decrescente) ⇒ x=-1 é ponto de máximo local.
  • Em x=1: à esquerda f'>0 e à direita f'<0 x=1 é ponto de máximo local.
  • Em x=0: à esquerda f'<0 e à direita f'>0 x=0 é ponto de mínimo local.
Agora avaliar valores:
f(0)=0^{2}e^{0}=0, \qquad f(\pm 1)=1^{2}e^{-1}=e^{-1}.
Comparando valores e sabendo que f(x)\ge 0 e \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 (vou justificar esse limite no Passo 11), concluímos:
  • f(0)=0 é o mínimo absoluto (é o menor valor atingido).
  • f(\pm 1)=e^{-1} são máximos absolutos, pois nenhum outro valor de f excede e^{-1} (a função sobe até e^{-1} em -1 e 1 e depois decai para 0; formalmente, por monotonicidade e limites).
Portanto:
  • Máximos relativo e absoluto: x=\pm 1 com valor f(\pm 1)=e^{-1}.
  • Mínimo relativo e absoluto: x=0 com valor f(0)=0.

Passo 8

Derivada segunda — cálculo passo a passo para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Partimos de f'(x)=2x e^{-x^{2}}(1-x^{2}). Vou derivar usando produto (escrevendo f'=u(x)v(x) com u(x)=2x(1-x^{2}) e v(x)=e^{-x^{2}}).
  • Primeiro calcule u'(x):
u(x)=2x-2x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=2-6x^{2}.
  • v'(x)=(-2x)e^{-x^{2}} (regra da cadeia).
Aplicando produto:
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = \bigl(2-6x^{2}\bigr)e^{-x^{2}} + \bigl(2x-2x^{3}\bigr)(-2x)e^{-x^{2}}.
Fatorando e^{-x^{2}} e simplificando os termos:
\begin{aligned} f''(x) &= e^{-x^{2}}\Bigl(2-6x^{2} -4x^{2} +4x^{4}\Bigr)\\\ &= e^{-x^{2}}\Bigl(2 -10x^{2} +4x^{4}\Bigr). \end{aligned}
Podemos colocar um fator 2:
\boxed{f''(x)=2e^{-x^{2}}\bigl(1 -5x^{2} +2x^{4}\bigr).}

Passo 9

Pontos de inflexão — resolver f''(x)=0 e analisar mudança de concavidade.
  • Como e^{-x^{2}}>0, as raízes vêm de
2 -10x^{2} +4x^{4}=0.
Dividindo por 2 e usando t=x^{2}\ge 0:
2t^{2}-5t+1=0.
Resolvendo a quadrática:
t=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}.
São duas soluções positivas (pois 5\pm\sqrt{17}>0), denotando
t_{1}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}\approx 0{,}21925,\qquad t_{2}=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\approx 2{,}2808.
Como t=x^{2}, obtemos quatro pontos de inflexão:
x=\pm\sqrt{t_{1}}\approx \pm 0{,}4684,\qquad x=\pm\sqrt{t_{2}}\approx \pm 1{,}5102.
  • Valores da função nesses pontos (opcional, para saber alturas):
f(\pm\sqrt{t_i})=t_i e^{-t_i},\quad\text{portanto numericamente}
f(\pm 0{,}4684)\approx 0{,}1762,\qquad f(\pm 1{,}5102)\approx 0{,}2333.
Troca de concavidade nessas raízes (como f'' muda de sinal) confirma que são pontos de inflexão.

Passo 10

Intervalos de concavidade (sinal de f'').
  • O fator e^{-x^{2}}>0 não afeta o sinal; o sinal de f'' é o sinal do polinômio P(x)=2-10x^{2}+4x^{4}, cujas raízes em x são \pm\sqrt{t_{1}} e \pm\sqrt{t_{2}}.
  • Usando os valores aproximados das raízes, o sinal de f'' é:
    • Em (-\infty,-1{,}5102): f''(x)>0 (côncava para cima).
    • Em (-1{,}5102,-0{,}4684): f''(x)<0 (côncava para baixo).
    • Em (-0{,}4684,0{,}4684): f''(x)>0 (côncava para cima).
    • Em (0{,}4684,1{,}5102): f''(x)<0 (côncava para baixo).
    • Em (1{,}5102,\infty): f''(x)>0 (côncava para cima).
Lembrando a paridade da função, os intervalos se refletem ao redor de zero.

Passo 11

Assíntotas — limites nas infinitudes e verificações.
  • Limite quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^{2}}{e^{x^{2}}}=0.
Justificação curta: o exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência; formalmente, pode-se escrever \dfrac{x^{2}}{e^{x^{2}}}=\dfrac{1}{e^{x^{2}}/x^{2}} e ver que o denominador tende a +\infty, ou usar que x^{2}e^{-x^{2}}\to 0 por comparação com uma integral ou com o limite padrão \lim_{u\to\infty} u^{n}e^{-u}=0.
  • Assim, há uma assíntota horizontal:
y=0
tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty.
  • Assíntotas verticais: não existem, pois o domínio é todo \mathbb{R} e a função é finita em todos os pontos.

Passo 12

Descrição do gráfico (como traçar) — pontos e forma geral.
Pontos e características chave para desenhar o gráfico:
  • Ponto de mínimo absoluto em x=0: (0,0).
  • Máximos absoluto em x=\pm 1: (\pm 1, e^{-1}).
  • Quatro pontos de inflexão aproximados em x\approx \pm 0{,}4684 e x\approx \pm 1{,}5102 com alturas indicadas no Passo 9.
  • A função é par, positiva (ou nula em 0), tende a 0 quando |x|\to\infty (assíntota horizontal y=0).
  • Comportamento monotônico: cresce até x=-1, decresce de -1 para 0, cresce de 0 até 1, decresce depois de 1.
  • Concavidade alterna nas regiões indicadas no Passo 10.
Assim o gráfico tem a forma de duas colinas simétricas em torno de y-axis, com vales em 0 e cumes em \pm 1, decaindo suavemente para 0 quando |x| cresce.

Passo 13

Imagem (conjunto imagem / intervalo de valores assumidos).
  • Sabendo que f(x)\ge 0, que o mínimo absoluto é 0 atingido em x=0, e que o máximo absoluto é e^{-1} atingido em x=\pm 1, concluímos:
\boxed{\text{Im}(f)=[0,e^{-1}].}

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Máximos:
\,x=\pm 1 são máximos relativos e absolutos com f(\pm 1)=e^{-1}.
Mínimos:
\,x=0 é mínimo relativo e absoluto com f(0)=0.
Crescimento/decrescimento:
f é crescente em (-\infty,-1) e em (0,1); f é decrescente em (-1,0) e em (1,\infty).
Concavidade e pontos de inflexão:
f''(x)=2e^{-x^{2}}\bigl(1-5x^{2}+2x^{4}\bigr).
Pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{17}}{4}}\approx\pm0{,}4684 e x=\pm\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{17}}{4}}\approx\pm1{,}5102.
Concavidade:
  • Côncava para cima em (-\infty,-1{,}5102), (-0{,}4684,0{,}4684) e (1{,}5102,\infty).
  • Côncava para baixo em (-1{,}5102,-0{,}4684) e (0{,}4684,1{,}5102).
Assíntotas:
  • Sem assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal y=0 (pois \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0).
Imagem:
\,[0,e^{-1}].

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