Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Função dada:
. - O enunciado pede:
- Domínio de
. - Pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos).
- Pontos de inflexão.
- Regiões de crescimento e decrescimento.
- Estudo da concavidade (intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo).
- Verificar existência de assíntotas verticais e/ou horizontais.
- Traçar (descrever) o gráfico.
- Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos) de
.
- Domínio de
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica
. Nada mais foi fornecido (sem figura). Começo a resolução a partir disso.
Passo 2
Domínio e continuidade — o que podemos afirmar imediatamente.
- A função é quociente onde o denominador é
. Como a exponencial nunca é zero para qualquer , o denominador está sempre definido e diferente de zero. - Portanto o domínio é todo o conjunto dos reais:
- A função é formada por polinômio e exponencial, ambas diferenciáveis em
, logo é contínua e infinitamente diferenciável em todo .
Passo 3
Reescrita útil e observações imediatas (simetria, sinal).
- É conveniente reescrever a função como
- Note que
e para todo . Logo para todo . - A função é par (simétrica em relação ao eixo
), pois substituindo por obtemos o mesmo valor:
Isso permite estudar só
e refletir para
.
Passo 4
Derivada primeira — regra usada e cálculo passo a passo.
Lembrete rápido (fórmulas que vou usar):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis, . - Regra da Cadeia: se
, então .
Tomando
, aplico a regra do produto com
e
.
-
. -
(por regra da cadeia: derivada de é ).
Agora
Fatorando
:
Passo 5
Determinação dos pontos críticos (onde
ou
indefinida).
- Como
sempre, as raízes de vêm de . - Resolvendo:
-
. -
.
-
Não há pontos onde
seja indefinida (pois exponencial é sempre boa). Logo os pontos críticos são
.
Passo 6
Sinal da derivada e intervalos de crescimento/decrescimento (análise por intervalos).
-
Como
, o sinal de é o do fator . Vamos analisar os sinais dos fatores em cada intervalo: - Para
: e produto . Logo . - Para
: e produto . Logo . - Para
: e produto . Logo . - Para
: e produto . Logo .
- Para
-
Conclusão sobre monotonicidade:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
-
Passo 7
Classificação dos extremos (usando mudança de sinal de
).
- Em
: à esquerda de (crescente) e à direita (decrescente) ⇒ é ponto de máximo local. - Em
: à esquerda e à direita ⇒ é ponto de máximo local. - Em
: à esquerda e à direita ⇒ é ponto de mínimo local.
Agora avaliar valores:
Comparando valores e sabendo que
e
(vou justificar esse limite no Passo 11), concluímos:
-
é o mínimo absoluto (é o menor valor atingido). -
são máximos absolutos, pois nenhum outro valor de excede (a função sobe até em e e depois decai para 0; formalmente, por monotonicidade e limites).
Portanto:
- Máximos relativo e absoluto:
com valor . - Mínimo relativo e absoluto:
com valor .
Passo 8
Derivada segunda — cálculo passo a passo para estudar concavidade e pontos de inflexão.
Partimos de
. Vou derivar usando produto (escrevendo
com
e
).
- Primeiro calcule
:
- Já
(regra da cadeia).
Aplicando produto:
Fatorando
e simplificando os termos:
Podemos colocar um fator
:
Passo 9
Pontos de inflexão — resolver
e analisar mudança de concavidade.
- Como
, as raízes vêm de
Dividindo por 2 e usando
:
Resolvendo a quadrática:
São duas soluções positivas (pois
), denotando
Como
, obtemos quatro pontos de inflexão:
- Valores da função nesses pontos (opcional, para saber alturas):
Troca de concavidade nessas raízes (como
muda de sinal) confirma que são pontos de inflexão.
Passo 10
Intervalos de concavidade (sinal de
).
- O fator
não afeta o sinal; o sinal de é o sinal do polinômio , cujas raízes em são e . - Usando os valores aproximados das raízes, o sinal de
é: - Em
: (côncava para cima). - Em
: (côncava para baixo). - Em
: (côncava para cima). - Em
: (côncava para baixo). - Em
: (côncava para cima).
- Em
Lembrando a paridade da função, os intervalos se refletem ao redor de zero.
Passo 11
Assíntotas — limites nas infinitudes e verificações.
- Limite quando
:
Justificação curta: o exponencial cresce muito mais rápido que qualquer potência; formalmente, pode-se escrever
e ver que o denominador tende a
, ou usar que
por comparação com uma integral ou com o limite padrão
.
- Assim, há uma assíntota horizontal:
tanto para
quanto para
.
- Assíntotas verticais: não existem, pois o domínio é todo
e a função é finita em todos os pontos.
Passo 12
Descrição do gráfico (como traçar) — pontos e forma geral.
Pontos e características chave para desenhar o gráfico:
- Ponto de mínimo absoluto em
: . - Máximos absoluto em
: . - Quatro pontos de inflexão aproximados em
e com alturas indicadas no Passo 9. - A função é par, positiva (ou nula em
), tende a quando (assíntota horizontal ). - Comportamento monotônico: cresce até
, decresce de para , cresce de até , decresce depois de . - Concavidade alterna nas regiões indicadas no Passo 10.
Assim o gráfico tem a forma de duas colinas simétricas em torno de
-axis, com vales em
e cumes em
, decaindo suavemente para 0 quando
cresce.
Passo 13
Imagem (conjunto imagem / intervalo de valores assumidos).
- Sabendo que
, que o mínimo absoluto é atingido em , e que o máximo absoluto é atingido em , concluímos:
Resposta
Domínio:
Máximos:
são máximos relativos e absolutos com
.
Mínimos:
é mínimo relativo e absoluto com
.
Crescimento/decrescimento:
é crescente em
e em
;
é decrescente em
e em
.
Concavidade e pontos de inflexão:
.
Pontos de inflexão em e
.
Concavidade:
Pontos de inflexão em
Concavidade:
- Côncava para cima em
, e . - Côncava para baixo em
e .
Assíntotas:
- Sem assíntotas verticais.
- Assíntota horizontal
(pois ).
Imagem:
.