Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- o domínio de
; - pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
- pontos de inflexão e estudo da concavidade;
- intervalos de crescimento e decrescimento;
- existência de assíntotas verticais e/ou horizontais;
- esboço (descrição) do gráfico e a imagem de
.
Informações explícitas fornecidas pela função (usadas mais à frente):
- há um fator
que exige atenção ao domínio; - o polinômio
tem zeros em e (mas e devem ser verificados contra o domínio por causa do ).
Passo 2
Determinar o domínio de
e limites nas extremidades relevantes.
- O logaritmo natural
só está definido para . Logo o domínio é
- Limite quando
. Como e , temos um produto do tipo . Um fato útil (e fácil de provar com ) é que para vale
Aplicando com
e lembrando o sinal, obtém-se
O limite é finito (tende a
pelo lado positivo, já que para
ambos
e
tornam o produto positivo).
- Limite quando
. Para grandes , e , então
Resumo desta etapa: domínio
,
quando
e
quando
.
Passo 3
Cálculo da derivada primeira
(regra do produto). Vou explicar passo a passo.
Temos
com
e
.
-
. -
.
Pela regra do produto,
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Fatorando
(útil porque
no domínio):
Como
, o sinal de
é o mesmo do fator
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
em
.
Como
,
equivale a
Denotando
, vamos estudar sinais e raízes de
.
- Avaliações úteis:
. Portanto é uma raiz (logo um ponto crítico). - Comportamento nos extremos:
(porque e , produto ); . - Valores teste para detectar mudança de sinal: calculando numericamente
-
(positivo), -
(negativo).
Assimtem pelo menos uma raiz em porque mudou de positivo para negativo. Como e para , é necessário também checar se há raízes maiores que . Para isso calculemos :
-
Derivando
:
Note que para
tem-se
e então
logo
é estritamente crescente em
. Além disso
, portanto
em
. Assim
é estritamente crescente em
e, como
, não há outras raízes
. Conclusão:
tem exatamente duas raízes em
: uma raiz em
(chamarei de
) e a raiz
.
- Aproximação numérica da raiz em
. Fazendo bisseção/avaliações: -
, -
.
Interpolando e refinando obtém-se
-
Portanto os pontos críticos em
são
e
.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos usando a segunda derivada
.
Calcule
a partir de
. Diferenciando termo a termo (explicando):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Somando e simplificando:
Assim
Agora avaliamos
nos pontos críticos.
- Em
: e . Portanto é um mínimo local. Como e veremos que em todo o domínio, esse mínimo é absoluto (mais adiante justifico). - Em
: calculando numericamente , . Substituindo em obtém-se . Logo é um máximo local.
Calcule também os valores da função nesses pontos:
-
. - Em
: , , então e , logo
Passo 6
Determinar monotonicidade usando o sinal de
.
Lembrando
e que
, então o sinal de
é o sinal de
.
Da análise de
(Passo 4):
-
para (pois era positivo próximo de e só fica nulo em ); -
em ; -
em .
Portanto:
-
é crescente em . -
é decrescente em . -
é crescente em .
Com isso,
é um máximo local e
é um mínimo local. Observando os limites do Passo 2 (
,
,
) e o fato de
para
(ver justificativa a seguir), concluímos:
-
para todo e . Logo é mínimo absoluto com valor . - Não existe máximo absoluto porque
quando .
Justificação de
: para
tem-se
e
, então o produto é
. Para
ambos
e
, novamente produto
. Em
o valor é
. Assim
em todo o domínio, com igualdade apenas em
.
Passo 7
Pontos de inflexão e concavidade (estudo de
).
Temos
Pontos de inflexão ocorrem quando
e há troca de sinal de
.
Estudo de
:
-
(mesma ideia do produto com como antes). -
. - Para valores intermediários encontrámos
. Logo muda de sinal, o que implica existência de duas raízes (uma para passar de positivo a negativo perto de e outra para voltar a positivo antes de e permanecer positivo depois).
Resolvendo numericamente
por bisseção/refinamento obtemos duas raízes aproximadas:
-
, -
.
Verificação das mudanças de sinal:
- Para
tem-se (côncavo para cima). - Para
tem-se (côncavo para baixo). - Para
tem-se (côncavo para cima novamente).
Avaliar
nesses pontos para coordenadas dos pontos de inflexão:
-
, -
.
Portanto os pontos de inflexão aproximados são
e
.
Passo 8
Assíntotas
- Assíntotas verticais: não há nenhuma no domínio
. Em o limite de é finito ( ), então não existe assíntota vertical em . - Assíntotas horizontais: como
, não há assíntota horizontal para . Também não há assíntota horizontal para (o valor limite é , que é um valor finito; pode-se dizer que a reta é o limite em mas não é uma assíntota no sentido usual porque a função não está definida à esquerda de ; mais corretamente, não há assíntotas horizontais no domínio bilateral). - Assíntotas oblíquas: a função cresce mais rápido que qualquer reta (com comportamento dominado por
), logo não há assíntota oblíqua.
Resumo: não existem assíntotas verticais nem horizontais no sentido usual sobre o domínio
.
Passo 9
Esboço verbal do gráfico e conclusão final sobre a imagem.
Descrição do gráfico (com base em tudo o que foi encontrado):
- Em
, . - A função cresce em
até um máximo local em com . - Em
decresce até atingir o mínimo local (e absoluto) em com . - Em
cresce indefinidamente e torna-se cada vez mais íngreme (tendendo a ). - A concavidade é: côncava para cima em
, côncava para baixo em e côncava para cima em . Os pontos de transição (inflexão) estão em e .
Imagem da função: como
para todo
e
, a imagem é
Resposta
Domínio:
Pontos críticos e classificação:
-
: máximo local com . -
: mínimo local e mínimo absoluto com .
Crescimento/decrescimento:
- Crescente em
. - Decrescente em
. - Crescente em
.
Concavidade e pontos de inflexão:
- Côncava para cima em
. - Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
. - Pontos de inflexão aproximados:
e .
Assíntotas:
- Não há assíntotas verticais nem horizontais (no domínio considerado).
- Não há assíntota oblíqua.
Imagem de
:
.