Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\left(x^{4}-x^{2}\right) \ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(x^{4}-x^{2}\right)\ln(x)
e pede:
  • o domínio de f;
  • pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), com classificação;
  • pontos de inflexão e estudo da concavidade;
  • intervalos de crescimento e decrescimento;
  • existência de assíntotas verticais e/ou horizontais;
  • esboço (descrição) do gráfico e a imagem de f.
Informações explícitas fornecidas pela função (usadas mais à frente):
  • há um fator \ln(x) que exige atenção ao domínio;
  • o polinômio x^{4}-x^{2}=x^{2}(x^{2}-1) tem zeros em x=0 e x= \pm 1 (mas x=0 e x<0 devem ser verificados contra o domínio por causa do \ln).

Passo 2

Determinar o domínio de f e limites nas extremidades relevantes.
  • O logaritmo natural \ln(x) só está definido para x>0. Logo o domínio é
(0,\infty).
  • Limite quando x\to 0^+. Como \,x^4-x^2=-x^2(1-x^2)\sim -x^2 e \ln x\to -\infty, temos um produto do tipo x^2\ln x. Um fato útil (e fácil de provar com x=e^{-t}) é que para a>0 vale
\lim_{x\to0^+} x^{a}\ln x = 0.
Aplicando com a=2 e lembrando o sinal, obtém-se
\lim_{x\to0^+} f(x)=0.
O limite é finito (tende a 0 pelo lado positivo, já que para 0<x<1 ambos x^4-x^2<0 e \ln x<0 tornam o produto positivo).
  • Limite quando x\to\infty. Para grandes x, x^4-x^2\sim x^4 e \ln x\to\infty, então
\lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty.
Resumo desta etapa: domínio (0,\infty), f(x)\to0 quando x\to0^+ e f(x)\to+\infty quando x\to\infty.

Passo 3

Cálculo da derivada primeira f'(x) (regra do produto). Vou explicar passo a passo.
Temos f(x)=g(x)\,h(x) com g(x)=x^4-x^2 e h(x)=\ln x.
  • g'(x)=4x^3-2x.
  • h'(x)=1/x.
Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Substituindo:
f'(x)=(4x^3-2x)\ln x + (x^4-x^2)\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo:
(x^4-x^2)\frac{1}{x}=x^3-x.
Portanto
f'(x)=(4x^3-2x)\ln x + x^3 - x.
Fatorando x (útil porque x>0 no domínio):
f'(x)=x\Big((4x^2-2)\ln x + x^2 -1\Big).
Como x>0, o sinal de f'(x) é o mesmo do fator
h(x):=(4x^2-2)\ln x + x^2 -1.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 em (0,\infty).
Como x>0, f'(x)=0 equivale a
(4x^2-2)\ln x + x^2 -1 =0.
Denotando H(x)=(4x^2-2)\ln x + x^2 -1, vamos estudar sinais e raízes de H.
  • Avaliações úteis: H(1)=(4-2)\cdot 0 +1-1=0. Portanto x=1 é uma raiz (logo um ponto crítico).
  • Comportamento nos extremos: \lim_{x\to0^+}H(x)=+\infty (porque \ln x\to -\infty e 4x^2-2\to -2, produto (-2)\cdot(-\infty)=+\infty); \lim_{x\to\infty}H(x)=+\infty.
  • Valores teste para detectar mudança de sinal: calculando numericamente
    • H(0{,}1)>0 (positivo),
    • H(0{,}6)<0 (negativo).
      Assim H tem pelo menos uma raiz em (0{,}1) porque mudou de positivo para negativo. Como H(1)=0 e \,H(x)\to+\infty para x\to\infty, é necessário também checar se há raízes maiores que 1. Para isso calculemos H'(x):
Derivando H:
H'(x)=8x\ln x +6x -\frac{2}{x}.
Note que para x\ge1 tem-se \ln x\ge0 e então
H''(x)=8\ln x +14 +\frac{2}{x^2}>0\quad\text{para }x\ge1,
logo H' é estritamente crescente em [1,\infty). Além disso H'(1)=4>0, portanto H'\!>\!0 em [1,\infty). Assim H é estritamente crescente em [1,\infty) e, como H(1)=0, não há outras raízes >1. Conclusão: H tem exatamente duas raízes em (0,\infty): uma raiz em (0,1) (chamarei de x_{\max}) e a raiz x=1.
  • Aproximação numérica da raiz em (0,1). Fazendo bisseção/avaliações:
    • H(0{,}48)\approx +0{,}0212,
    • H(0{,}49)\approx -0{,}0189.
      Interpolando e refinando obtém-se
    x_{\max}\approx 0{,}485.
Portanto os pontos críticos em (0,\infty) são x\approx 0{,}485 e x=1.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos usando a segunda derivada f''(x).
Calcule f''(x) a partir de f'(x)=(4x^3-2x)\ln x + x^3 - x. Diferenciando termo a termo (explicando):
  • Derivada de (4x^3-2x)\ln x é (12x^2-2)\ln x + (4x^3-2x)\cdot(1/x).
  • Derivada de x^3-x é 3x^2-1.
Somando e simplificando:
f''(x)=(12x^2-2)\ln x +4x^2 -2 +3x^2 -1.
Assim
f''(x)=(12x^2-2)\ln x +7x^2 -3.
Agora avaliamos f'' nos pontos críticos.
  • Em x=1: \ln 1=0 e f''(1)=7-3=4>0. Portanto x=1 é um mínimo local. Como f(1)=0 e veremos que f(x)\ge0 em todo o domínio, esse mínimo é absoluto (mais adiante justifico).
  • Em x\approx 0{,}485: calculando numericamente x^2\approx0{,}235, \ln x\approx -0{,}723. Substituindo em f'' obtém-se f''(0{,}485)\approx -1{,}95<0. Logo x\approx0{,}485 é um máximo local.
Calcule também os valores da função nesses pontos:
  • f(1)=\bigl(1-1\bigr)\ln 1=0.
  • Em x\approx0{,}485: x^2\approx0{,}235, x^4\approx0{,}0553, então x^4-x^2\approx -0{,}1799 e \ln x\approx -0{,}723, logo
f(0{,}485)\approx (-0{,}1799)\cdot(-0{,}723)\approx 0{,}130.

Passo 6

Determinar monotonicidade usando o sinal de f'(x).
Lembrando f'(x)=x\,H(x) e que x>0, então o sinal de f' é o sinal de H.
Da análise de H (Passo 4):
  • H(x)>0 para 0<x<x_{\max} (pois H era positivo próximo de 0 e só fica nulo em x_{\max});
  • H(x)<0 em (x_{\max},1);
  • H(x)>0 em (1,\infty).
Portanto:
  • f é crescente em (0,x_{\max}).
  • f é decrescente em (x_{\max},1).
  • f é crescente em (1,\infty).
Com isso, x_{\max}\approx 0{,}485 é um máximo local e x=1 é um mínimo local. Observando os limites do Passo 2 ( f(1)=0, \lim_{x\to0^+}f(x)=0, \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty ) e o fato de f(x)>0 para x\ne1 (ver justificativa a seguir), concluímos:
  • f(x)\ge 0 para todo x>0 e f(1)=0. Logo x=1 é mínimo absoluto com valor 0.
  • Não existe máximo absoluto porque f(x)\to+\infty quando x\to\infty.
Justificação de f(x)\ge0: para 0<x<1 tem-se x^4-x^2<0 e \ln x<0, então o produto é >0. Para x>1 ambos x^4-x^2>0 e \ln x>0, novamente produto >0. Em x=1 o valor é 0. Assim f(x)\ge0 em todo o domínio, com igualdade apenas em x=1.

Passo 7

Pontos de inflexão e concavidade (estudo de f''(x)).
Temos
f''(x)=(12x^2-2)\ln x +7x^2 -3.
Pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 e há troca de sinal de f''.
Estudo de f'':
  • \lim_{x\to0^+}f''(x)=+\infty (mesma ideia do produto com \ln x como antes).
  • f''(1)=4>0.
  • Para valores intermediários encontrámos f''(0{,}6)\approx -1{,}66<0. Logo f'' muda de sinal, o que implica existência de duas raízes (uma para passar de positivo a negativo perto de 0 e outra para voltar a positivo antes de 1 e permanecer positivo depois).
Resolvendo numericamente f''(x)=0 por bisseção/refinamento obtemos duas raízes aproximadas:
  • x_{\mathrm{inf}_1}\approx 0{,}179,
  • x_{\mathrm{inf}_2}\approx 0{,}784.
Verificação das mudanças de sinal:
  • Para 0<x<x_{\mathrm{inf}_1} tem-se f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para x_{\mathrm{inf}_1}<x<x_{\mathrm{inf}_2} tem-se f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x>x_{\mathrm{inf}_2} tem-se f''(x)>0 (côncavo para cima novamente).
Avaliar f nesses pontos para coordenadas dos pontos de inflexão:
  • f(0{,}179)\approx 0{,}053,
  • f(0{,}784)\approx 0{,}058.
Portanto os pontos de inflexão aproximados são (0{,}179,\;0{,}053) e (0{,}784,\;0{,}058).

Passo 8

Assíntotas
  • Assíntotas verticais: não há nenhuma no domínio (0,\infty). Em x\to0^+ o limite de f(x) é finito ( 0), então não existe assíntota vertical em x=0.
  • Assíntotas horizontais: como \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty, não há assíntota horizontal para x\to\infty. Também não há assíntota horizontal para x\to0^+ (o valor limite é 0, que é um valor finito; pode-se dizer que a reta y=0 é o limite em 0^+ mas não é uma assíntota no sentido usual porque a função não está definida à esquerda de 0; mais corretamente, não há assíntotas horizontais no domínio bilateral).
  • Assíntotas oblíquas: a função cresce mais rápido que qualquer reta (com comportamento dominado por x^4\ln x), logo não há assíntota oblíqua.
Resumo: não existem assíntotas verticais nem horizontais no sentido usual sobre o domínio (0,\infty).

Passo 9

Esboço verbal do gráfico e conclusão final sobre a imagem.
Descrição do gráfico (com base em tudo o que foi encontrado):
  • Em x\to0^+, f(x)\to0^+.
  • A função cresce em (0,0{,}485) até um máximo local em x\approx0{,}485 com f\approx0{,}130.
  • Em (0{,}485,1) decresce até atingir o mínimo local (e absoluto) em x=1 com f(1)=0.
  • Em (1,\infty) cresce indefinidamente e torna-se cada vez mais íngreme (tendendo a +\infty).
  • A concavidade é: côncava para cima em (0,0{,}179), côncava para baixo em (0{,}179,0{,}784) e côncava para cima em (0{,}784,\infty). Os pontos de transição (inflexão) estão em x\approx0{,}179 e x\approx0{,}784.
Imagem da função: como f(x)\ge0 para todo x>0 e \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty, a imagem é
[0,\infty).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Pontos críticos e classificação:
  • x\approx 0{,}485: máximo local com f(0{,}485)\approx 0{,}130.
  • x=1: mínimo local e mínimo absoluto com f(1)=0.
Crescimento/decrescimento:
  • Crescente em (0,\,0{,}485).
  • Decrescente em (0{,}485,\,1).
  • Crescente em (1,\,\infty).
Concavidade e pontos de inflexão:
  • Côncava para cima em (0,\,0{,}179).
  • Côncava para baixo em (0{,}179,\,0{,}784).
  • Côncava para cima em (0{,}784,\,\infty).
  • Pontos de inflexão aproximados: (0{,}179,\;0{,}053) e (0{,}784,\;0{,}058).
Assíntotas:
  • Não há assíntotas verticais nem horizontais (no domínio considerado).
  • Não há assíntota oblíqua.
Imagem de f: [0,\infty).

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