Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de
, caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de
:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
:
- determinar o domínio de
; - encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), e pontos de inflexão;
- indicar regiões de crescimento e decrescimento e estudar a concavidade;
- verificar assíntotas verticais e horizontais;
- traçar (descrever) o gráfico;
- determinar a imagem de
.
Informações dadas: a função é
. Não há outras informações ou figuras fornecidas.
Passo 2
Entendendo a função e o domínio (aulas rápidas e intuitivas).
- A função é a raiz cúbica do quadrado de
. Escrevendo de outra forma:
- Explicação curta: como
para todo , a raiz cúbica de um número não negativo está sempre bem definida para todo real. Portanto a função não tem problemas de definição em nenhum . - Conclusão do domínio:
Passo 3
Forma mais conveniente para trabalhar (motivação para derivar): é útil ver
como potência com expoente racional. Usarei a regra da potência e a regra da cadeia para derivar.
Regra da potência (lembrando): se
com
constante real, então
. Se tivermos
, a regra da cadeia dá
.
Aplicando a
:
-
, ; -
.
Logo:
Uma forma mais explícita:
Observação importante: em
temos
, então
não está definida (divisão por zero). Para
a fórmula acima vale.
Passo 4
Análise do sinal de
(monotonicidade) — exercício prático de interpretação do sinal.
- Para
: então . Assim . Portanto é crescente em . - Para
: então . Assim . Portanto é decrescente em . - Em
: não existe, mas a monotonicidade muda de decrescente para crescente, o que caracteriza um mínimo relativo (e também absoluto, pois a função é não negativa e atinge zero ali). Calcule o valor:
- Não existem pontos onde
muda sinal para produzir um máximo local; não há máximos locais finitos.
Passo 5
Extremum: interpretação e conclusão
- Como
decresce em e cresce em , em há um ponto de mínimo relativo. - Além disso,
para todo e , então esse mínimo é absoluto. - Conclusão sobre extremos (será repetido de forma concisa na resposta final): mínimo absoluto em
com valor . Não há máximos absolutos nem máximos relativos.
Passo 6
Segunda derivada e concavidade (explicação detalhada).
- Derivando
novamente usando regra da potência:
- Escrevendo de forma explícita:
- Observação: para todo
, . Assim para todo . - Interpretação:
é côncava para baixo (concavidade negativa) em cada um dos intervalos e . Em a segunda derivada não está definida. - Como a concavidade é negativa dos dois lados e não troca de sinal em
, não existe ponto de inflexão em nem em outro ponto (inflection exige troca de concavidade).
Passo 7
Comportamento próximo a
e interpretação geométrica (tangente vertical / cúspide).
- Limites da derivada quando
:
- Isso significa que a inclinação da curva fica muito negativa ao aproximar-se de
pela esquerda e muito positiva pela direita: o gráfico tem uma cúspide com tangente vertical em (às vezes chamado de “ponto com derivada infinita”). A função, porém, é contínua em e atinge ali. - Não há assíntota vertical em
porque a função não tende a quando ; tende a .
Passo 8
Comportamento nas infinitas e assíntotas horizontais (explicação e limites).
- Para
, . - Para
, . - Consequência: não existem assíntotas horizontais (a função cresce sem bound em ambas as extremidades).
- Também não há assíntotas oblíquas, porque a função cresce como potência sublinear
e a diferença não tende a zero para nenhuma reta .
Passo 9
Descrição do gráfico (como desenhar rapidamente na prova).
- Simétrico em torno da vertical
no sentido de que (função par quando recenterizada em ). - Decresce suavemente até
, atinge o mínimo em com cúspide (inclinação vertical), e cresce depois. Em ambos os ramos a curva é côncava para baixo. - Pontos chaves para rascunho:
(mínimo absoluto), por exemplo e — note que , . Isso ajuda a posicionar os pontos e traçar a forma em V arredondado com cúspide em .
Resposta
Domínio:
Ponto(s) de mínimo: mínimo absoluto em com
. Não há máximos relativos nem máximos absolutos.
Ponto(s) de inflexão: nenhum (não há troca de concavidade).
Regiões de crescimento: .
Regiões de decrescimento: .
Concavidade: côncava para baixo em e em
(ou seja,
para todo
).
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Imagem (contradomínio efetivo): .
Ponto(s) de mínimo: mínimo absoluto em
Ponto(s) de inflexão: nenhum (não há troca de concavidade).
Regiões de crescimento:
Regiões de decrescimento:
Concavidade: côncava para baixo em
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Imagem (contradomínio efetivo):