Para cada uma das funções abaixo, determine domínio de f(x), caso existam, os pontos de máximo, mínimo (relativos e absolutos) e de inflexão, determinando também as regiões de crescimento, decrescimento e o estudo da concavidade. Ainda, verifique se há assíntotas verticais e/ou horizontais, trace os respectivos gráficos e determine a imagem de f(x) :
f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}:
  • determinar o domínio de f;
  • encontrar pontos de máximo e mínimo (relativos e absolutos), e pontos de inflexão;
  • indicar regiões de crescimento e decrescimento e estudar a concavidade;
  • verificar assíntotas verticais e horizontais;
  • traçar (descrever) o gráfico;
  • determinar a imagem de f.
Informações dadas: a função é f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}. Não há outras informações ou figuras fornecidas.

Passo 2

Entendendo a função e o domínio (aulas rápidas e intuitivas).
  • A função é a raiz cúbica do quadrado de (x-1). Escrevendo de outra forma:
f(x)=\sqrt[3]{(x-1)^{2}}=\bigl((x-1)^{2}\bigr)^{1/3}=(x-1)^{2/3}.
  • Explicação curta: como (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, a raiz cúbica de um número não negativo está sempre bem definida para todo real. Portanto a função não tem problemas de definição em nenhum x.
  • Conclusão do domínio:
\text{Domínio: }(-\infty,\infty).í

Passo 3

Forma mais conveniente para trabalhar (motivação para derivar): é útil ver f como potência com expoente racional. Usarei a regra da potência e a regra da cadeia para derivar.
Regra da potência (lembrando): se g(x)=x^{\alpha} com \alpha constante real, então g'(x)=\alpha x^{\alpha-1}. Se tivermos h(x)=(u(x))^{\alpha}, a regra da cadeia dá h'(x)=\alpha (u(x))^{\alpha-1}u'(x).
Aplicando a f(x)=(x-1)^{2/3}:
  • u(x)=x-1, u'(x)=1;
  • \alpha=\tfrac{2}{3}.
Logo:
f'(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}(x-1)^{-1/3}.
Uma forma mais explícita:
f'(x)=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}.
Observação importante: em x=1 temos \sqrt[3]{x-1}=0, então f'(1) não está definida (divisão por zero). Para x\neq1 a fórmula acima vale.

Passo 4

Análise do sinal de f' (monotonicidade) — exercício prático de interpretação do sinal.
  • Para x>1: x-1>0 então \sqrt[3]{x-1}>0. Assim f'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}>0. Portanto f é crescente em (1,\infty).
  • Para x<1: x-1<0 então \sqrt[3]{x-1}<0. Assim f'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}<0. Portanto f é decrescente em (-\infty,1).
  • Em x=1: f' não existe, mas a monotonicidade muda de decrescente para crescente, o que caracteriza um mínimo relativo (e também absoluto, pois a função é não negativa e atinge zero ali). Calcule o valor:
f(1)=\sqrt[3]{(1-1)^2}=0.
  • Não existem pontos onde f' muda sinal para produzir um máximo local; não há máximos locais finitos.

Passo 5

Extremum: interpretação e conclusão
  • Como f decresce em (-\infty,1) e cresce em (1,\infty), em x=1 há um ponto de mínimo relativo.
  • Além disso, f(x)\ge 0 para todo x e f(1)=0, então esse mínimo é absoluto.
  • Conclusão sobre extremos (será repetido de forma concisa na resposta final): mínimo absoluto em x=1 com valor 0. Não há máximos absolutos nem máximos relativos.

Passo 6

Segunda derivada e concavidade (explicação detalhada).
  • Derivando f'(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{-1/3} novamente usando regra da potência:
f''(x)=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)(x-1)^{-1/3-1}=-\frac{2}{9}(x-1)^{-4/3}.
  • Escrevendo de forma explícita:
f''(x)=-\frac{2}{9}\frac{1}{(x-1)^{4/3}}.
  • Observação: para todo x\neq1, (x-1)^{4/3} >0. Assim f''(x)<0 para todo x\neq1.
  • Interpretação: f é côncava para baixo (concavidade negativa) em cada um dos intervalos (-\infty,1) e (1,\infty). Em x=1 a segunda derivada não está definida.
  • Como a concavidade é negativa dos dois lados e não troca de sinal em x=1, não existe ponto de inflexão em x=1 nem em outro ponto (inflection exige troca de concavidade).

Passo 7

Comportamento próximo a x=1 e interpretação geométrica (tangente vertical / cúspide).
  • Limites da derivada quando x\to 1^\pm:
\lim_{x\to 1^-}f'(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}f'(x)=+\infty.
  • Isso significa que a inclinação da curva fica muito negativa ao aproximar-se de 1 pela esquerda e muito positiva pela direita: o gráfico tem uma cúspide com tangente vertical em x=1 (às vezes chamado de “ponto com derivada infinita”). A função, porém, é contínua em x=1 e atinge 0 ali.
  • Não há assíntota vertical em x=1 porque a função não tende a \pm\infty quando x\to1; tende a 0.

Passo 8

Comportamento nas infinitas e assíntotas horizontais (explicação e limites).
  • Para x\to\infty, f(x)=(x-1)^{2/3}\sim x^{2/3}\to\infty.
  • Para x\to-\infty, f(x)=|x-1|^{2/3}\sim |x|^{2/3}\to\infty.
  • Consequência: não existem assíntotas horizontais (a função cresce sem bound em ambas as extremidades).
  • Também não há assíntotas oblíquas, porque a função cresce como potência sublinear x^{2/3} e a diferença f(x)- (ax+b) não tende a zero para nenhuma reta ax+b.

Passo 9

Descrição do gráfico (como desenhar rapidamente na prova).
  • Simétrico em torno da vertical x=1 no sentido de que f(1+h)=f(1-h) (função par quando recenterizada em x=1).
  • Decresce suavemente até x=1, atinge o mínimo 0 em x=1 com cúspide (inclinação vertical), e cresce depois. Em ambos os ramos a curva é côncava para baixo.
  • Pontos chaves para rascunho: (1,0) (mínimo absoluto), por exemplo (2,1^{2/3}=1) e (0,1^{2/3}=1) — note que f(0)=\sqrt[3]{(-1)^2}=1, f(2)=1. Isso ajuda a posicionar os pontos e traçar a forma em V arredondado com cúspide em x=1.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Ponto(s) de mínimo: mínimo absoluto em x=1 com f(1)=0. Não há máximos relativos nem máximos absolutos.
Ponto(s) de inflexão: nenhum (não há troca de concavidade).
Regiões de crescimento: (1,\infty).
Regiões de decrescimento: (-\infty,1).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,1) e em (1,\infty) (ou seja, f''(x)<0 para todo x\neq1).
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma.
Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty).

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