Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(j) f(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=e^-x^2 em três aspectos: crescimento/decrescimento, concavidade/pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (Cálculo Diferencial) para estudar monotonicidade e concavidade e em seguida descrever o gráfico.

Passo 2

Começamos calculando a derivada primeira usando a regra da cadeia. Como f(x)=e^u(x) com u(x)=-x^2, temos
f'(x)=u'(x)e^u(x)=(-2x)e^-x^2=-2x e^-x^2

Passo 3

Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de f'(x)=-2x e^-x^2. Note que e^-x^2>0 para todo x. Então o sinal de f' é determinado por -2x:
f'(x)>0 se -2x>0 x<0, logo f cresce em (-infty,0).
f'(x)<0 se -2x<0 x>0, logo f decresce em (0,infty).
Em x=0 há um máximo local (na verdade global), pois a derivada muda de positiva para negativa.

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda para ver a concavidade. Partindo de f'(x)=-2x e^-x^2, aplicamos produto e cadeia:
f''(x)=(-2)e^-x^2+(-2x)x08igl(e^-x^2x08igr)'=-2e^-x^2+(-2x)(-2x e^-x^2)

Passo 5

Para concavidade, analisamos o sinal de f''(x)=(4x^2-2)e^-x^2. Como e^-x^2>0, o sinal vem de 4x^2-2:
4x^2-2<0 se |x|<1/raiz2, então f é côncava para baixo em (-1/raiz2,1/raiz2).
4x^2-2>0 se |x|>1/raiz2, então f é côncava para cima em ( -infty,-1/raiz2)cup(1/raiz2,infty).
Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0, isto é em x=pm1/raiz2.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, anotamos: é função par (simétrica em relação ao eixo y); tem máximo absoluto em (0,1); tende a zero quando xtopminfty (assíntota horizontal y=0); muda concavidade em x=pm1/raiz2. O gráfico sobe até x=0, depois desce suavemente, iniciando côncavo para baixo, trocando para côncavo para cima em pm1/raiz2 e aproximando-se de y=0.

Resposta

Crescimento: (-infty,0); decrescimento: (0,infty).
Concavidade para baixo em (-1/raiz2,1/raiz2); concavidade para cima em ( -infty,-1/raiz2)cup(1/raiz2,infty).
Pontos de inflexão em x=pm1/raiz2, com f(pm1/raiz2)=e^-1/2.
Gráfico: função par, máximo em (0,1), assíntota horizontal y=0, muda de concavidade em pm1/raiz2.

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