Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(j)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(j)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
em três aspectos: crescimento/decrescimento, concavidade/pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (Cálculo Diferencial) para estudar monotonicidade e concavidade e em seguida descrever o gráfico.
Passo 2
Começamos calculando a derivada primeira usando a regra da cadeia. Como
com
, temos
Passo 3
Para estudar monotonicidade, analisamos o sinal de
. Note que
para todo
. Então o sinal de
é determinado por
:
– se
⇔
, logo
cresce em
.
– se
⇔
, logo
decresce em
.
Em há um máximo local (na verdade global), pois a derivada muda de positiva para negativa.
–
–
Em
Passo 4
Agora calculamos a derivada segunda para ver a concavidade. Partindo de
, aplicamos produto e cadeia:
Passo 5
Para concavidade, analisamos o sinal de
. Como
, o sinal vem de
:
– se
, então
é côncava para baixo em
.
– se
, então
é côncava para cima em
.
Os pontos de inflexão ocorrem onde , isto é em
.
–
–
Os pontos de inflexão ocorrem onde
Passo 6
Para esboçar o gráfico, anotamos: é função par (simétrica em relação ao eixo
); tem máximo absoluto em
; tende a zero quando
(assíntota horizontal
); muda concavidade em
. O gráfico sobe até
, depois desce suavemente, iniciando côncavo para baixo, trocando para côncavo para cima em
e aproximando-se de
.
Resposta
Crescimento:
; decrescimento:
.
Concavidade para baixo em ; concavidade para cima em
.
Pontos de inflexão em , com
.
Gráfico: função par, máximo em , assíntota horizontal
, muda de concavidade em
.
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão em
Gráfico: função par, máximo em