Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(a) f(x)=x^4-2 x^3+2 x

Passo 1

Temos a função f(x)=x4−2x3+2x. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade, concavidade e esboço de gráfico usando derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Para estudar crescimento e decrescimento, calculamos f′(x). Temos
f'(x)=4x^3−6x^2+2
Igualando a zero, resolvemos 2x3−3x2+1=0, cujas raízes são x=−1/2 (simples) e x=1 (dupla). Analisando o sinal de f′(x) em cada intervalo, concluímos que f′<0 em (−∞,−1/2) e f′>0 em (−1/2,∞). Logo, f decresce em (−∞,−1/2) e cresce em (−1/2,∞), com mínimo local em x=−1/2 e ponto de sela horizontal em x=1.

Passo 3

Para estudar concavidade e pontos de inflexão, calculamos f″(x). Temos
f''(x)=12x^2−12x=12x(x−1)
As raízes são x=0 e x=1. Em (−∞,0) e (1,∞), f″>0 (côncava para cima); em (0,1), f″<0 (côncava para baixo). Como o sinal de f″ muda em x=0 e em x=1, esses são pontos de inflexão, com coordenadas (0,0) e (1,1).

Passo 4

Para esboçar o gráfico, marcamos no plano os pontos críticos: mínimo local em (−1/2,−11/16), ponto de sela horizontal em (1,1) e pontos de inflexão em (0,0) e (1,1). Em x→±∞, f(x)→+∞ e o comportamento é de uma função quártica. Desenhamos uma curva que desce até (−1/2,−11/16), sobe passando por (0,0) (inflação), suaviza em (1,1) (dupla mudança de concavidade), e depois sobe indefinidamente.

Resposta

  1. Cresce em (−1/2,∞) e decresce em (−∞,−1/2).
  2. f é côncava para cima em (−∞,0)∪(1,∞), côncava para baixo em (0,1); pontos de inflexão em (0,0) e (1,1).
  3. Gráfico quártico com mínimo local em (−1/2,−11/16), ponto de sela horizontal em (1,1), inflexões em (0,0),(1,1) e f(x)→+∞ para x→±∞.

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