Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, seus pontos de máximos e mínimos, locais e globais, se houver e calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de f, sendo que f(x)=x-e^x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=x−e^{x}: determinar onde ela cresce e decresce, identificar pontos de máximo e mínimo (locais e globais), calcular os limites necessários e esboçar o gráfico. Vamos usar derivada para monotonicidade e limites para o comportamento em ±∞.

Passo 2

Começamos computando a derivada de f usando a regra de derivação de exponencial:
f'(x)=ddx(x) - ddx(e^x)=1 - e^x
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
1 - e^x=0implies e^x=1implies x=0

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f’(x)=1−e^{x}:
  • Se x<0, então e^{x}<1 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f cresce em (−∞,0).
  • Se x>0, então e^{x}>1 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decresce em (0,∞).
    Logo, em x=0 temos uma mudança de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local. Avaliamos f(0)=0−e^{0}=−1.

Passo 4

Para verificar se é máximo global e se existem mínimos, calculamos os limites em ±∞:
limxto-inftyf(x)=limxto-infty(x-e^x)=-infty-0=-infty,
limxto+inftyf(x)=limxto+infty(x-e^x)=-infty
A função tende a −∞ em ambos os extremos, então o valor f(0)=−1 é o maior de todos (máximo global). Não há mínimos, pois f é não limitada inferiormente.

Passo 5

Para esboçar o gráfico: a função parte de −∞ quando x→−∞, cresce até o ponto (0,−1), depois decresce para −∞ quando x→+∞. Não cruza o eixo x (x=e^{x} não tem solução real). O ponto (0,−1) é o pico do gráfico, tudo está abaixo dessa reta horizontal.

Passo 6

Com base nisso, o esboço mostra uma única crista em (0,−1) e cauda nos dois extremos tendendo a −∞.

Resposta

Cresce em (−∞,0) e decresce em (0,∞). Tem um único ponto crítico em x=0, que é máximo local e global com f(0)=−1. Não possui mínimos. Limites: limxto±∞f(x)=−∞.

Exercícios relacionados