Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, seus pontos de máximos e mínimos, locais e globais, se houver e calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de
, sendo que
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Passo 1
O enunciado pede para analisar a função f(x)=x−e^{x}: determinar onde ela cresce e decresce, identificar pontos de máximo e mínimo (locais e globais), calcular os limites necessários e esboçar o gráfico. Vamos usar derivada para monotonicidade e limites para o comportamento em ±∞.
Passo 2
Começamos computando a derivada de f usando a regra de derivação de exponencial:
Para achar pontos críticos, resolvemos f’(x)=0:
Passo 3
Agora analisamos o sinal de f’(x)=1−e^{x}:
- Se x<0, então e^{x}<1 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f cresce em (−∞,0).
- Se x>0, então e^{x}>1 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decresce em (0,∞).
Logo, em x=0 temos uma mudança de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local. Avaliamos f(0)=0−e^{0}=−1.
Passo 4
Para verificar se é máximo global e se existem mínimos, calculamos os limites em ±∞:
A função tende a −∞ em ambos os extremos, então o valor f(0)=−1 é o maior de todos (máximo global). Não há mínimos, pois f é não limitada inferiormente.
Passo 5
Para esboçar o gráfico: a função parte de −∞ quando x→−∞, cresce até o ponto (0,−1), depois decresce para −∞ quando x→+∞. Não cruza o eixo x (x=e^{x} não tem solução real). O ponto (0,−1) é o pico do gráfico, tudo está abaixo dessa reta horizontal.
Passo 6
Com base nisso, o esboço mostra uma única crista em (0,−1) e cauda nos dois extremos tendendo a −∞.
Resposta
Cresce em (−∞,0) e decresce em (0,∞). Tem um único ponto crítico em x=0, que é máximo local e global com f(0)=−1. Não possui mínimos. Limites:
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