Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, seus pontos de máximos e mínimos, locais e globais, se houver e calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de
, sendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é analisar a função $ f(x) = \frac{2x^2 + 4x}{2 + x^2} $. A gente vai determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar seus pontos de máximo e mínimo (tanto locais quanto globais, se existirem), calcular os limites necessários e, por fim, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. A função dada é:
Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Isso nos ajuda a ver melhor o comportamento da função.
Passo 3
Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a $ x $. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Calculando cada parte:
- Derivada do numerador: $ (2x^2 + 4x)’ = 4x + 4 $
- Derivada do denominador: $ (x^2 + 2)’ = 2x $
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a derivada:
Multiplicando os termos:
Agora, combinando termos semelhantes:
Podemos fatorar no numerador:
Passo 5
Para encontrar onde a derivada é zero ou indefinida (possíveis pontos de máximo ou mínimo), resolvemos $ f’(x) = 0 $:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula:
Então, os pontos críticos são $ x = 1 + \sqrt{3} $ e $ x = 1 - \sqrt{3} $.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função é crescente ou decrescente.
Os intervalos são:
- $ x < 1 - \sqrt{3} $
- $ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $
- $ x > 1 + \sqrt{3} $
Escolhemos valores de teste em cada intervalo e avaliamos o sinal da derivada:
- Para $ x < 1 - \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = -2 $:
→ Função crescente.
- Para $ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = 0 $:
→ Função crescente. - Para $ x > 1 + \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = 3 $:
→ Função decrescente.
Passo 7
Com base nisso, podemos concluir que:
- A função é crescente em $ (-\infty, 1 + \sqrt{3}) $
- A função é decrescente em $ (1 + \sqrt{3}, +\infty) $
Os pontos $ x = 1 \pm \sqrt{3} $ são pontos de máximo ou mínimo. Como a função muda de crescente para decrescente em $ x = 1 + \sqrt{3} $, esse ponto é um máximo local. O ponto $ x = 1 - \sqrt{3} $ não resulta em mudança de sinal adequada para ser um máximo ou mínimo.
Passo 8
Vamos agora calcular os limites necessários para entender o comportamento da função em extremos.
- Limite quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $:
Então, a função tende a 2 quando $ x $ vai para $ \pm\infty $.
- Limite quando $ x $ tende a valores que podem causar indeterminação:
Aqui, o denominador $ x^2 + 2 $ nunca é zero, então não há assimptotas verticais.
Passo 9
Para desenhar o gráfico da função, temos as seguintes informações:
- Assíntota Horizontal: $ y = 2 $
- Pontos de máximo local: em $ x = 1 + \sqrt{3} $
- Comportamento:
- Cresce de $ -\infty $ até $ x = 1 + \sqrt{3} $
- Decresce depois de $ x = 1 + \sqrt{3} $ em diante
- Valor da função em $ x = 0 $:
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico mostrando a função se aproximando de $ y = 2 $ nas laterais, atingindo um pico em $ x = 1 + \sqrt{3} $ e passando pelo ponto $ (0, 0) $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{2x^2 + 4x}{2 + x^2} $ é crescente no intervalo $ (-\infty, 1 + \sqrt{3}) $ e decrescente em $ (1 + \sqrt{3}, +\infty) $. Possui um máximo local em $ x = 1 + \sqrt{3} $. O limite da função quando $ x $ tende a $ \pm\infty $ é 2. O gráfico apresenta uma assíntota horizontal em $ y = 2 $, cresce até $ x = 1 + \sqrt{3} $, decresce após esse ponto e passa pelo ponto $ (0, 0) $.