Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento, seus pontos de máximos e mínimos, locais e globais, se houver e calcule todos os limites necessários e esboce o gráfico de f, sendo que f(x)=2 x^2+4 x2+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é analisar a função $ f(x) = \frac{2x^2 + 4x}{2 + x^2} $. A gente vai determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar seus pontos de máximo e mínimo (tanto locais quanto globais, se existirem), calcular os limites necessários e, por fim, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. A função dada é:
f(x) = 2x^2 + 4x2 + x^2
Podemos fatorar o numerador:
2x^2 + 4x = 2x(x + 2)
Então, a função fica:
f(x) = 2x(x + 2)x^2 + 2
Isso nos ajuda a ver melhor o comportamento da função.

Passo 3

Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função em relação a $ x $. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
f(x)
Calculando cada parte:
  • Derivada do numerador: $ (2x^2 + 4x)’ = 4x + 4 $
  • Derivada do denominador: $ (x^2 + 2)’ = 2x $
Substituindo:
x

Passo 4

Vamos simplificar a derivada:
f'(x) = (4x + 4)(x^2 + 2) - (2x^2 + 4x)(2x)(x^2 + 2)^2
Multiplicando os termos:
= 4x(x^2) + 4x(2) + 4(x^2) + 4(2) - [2x^2(2x) + 4x(2x)](x^2 + 2)^2
= 4x^3 + 8x + 4x^2 + 8 - (4x^3 + 8x^2)(x^2 + 2)^2
Agora, combinando termos semelhantes:
= 4x^3 + 4x^2 + 8x + 8 - 4x^3 - 8x^2(x^2 + 2)^2
= -4x^2 + 8x + 8(x^2 + 2)^2
Podemos fatorar no numerador:
= -4(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2)^2

Passo 5

Para encontrar onde a derivada é zero ou indefinida (possíveis pontos de máximo ou mínimo), resolvemos $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Isso ocorre quando o numerador é zero:
-4(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2)^2 = 0
-4(x^2 - 2x - 2) = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula:
x^2 - 2x - 2 = 0
Então, os pontos críticos são $ x = 1 + \sqrt{3} $ e $ x = 1 - \sqrt{3} $.

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função é crescente ou decrescente.
Os intervalos são:
  1. $ x < 1 - \sqrt{3} $
  2. $ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $
  3. $ x > 1 + \sqrt{3} $
Escolhemos valores de teste em cada intervalo e avaliamos o sinal da derivada:
  • Para $ x < 1 - \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = -2 $: x < 1 - raiz3 → Função crescente.
    - Para $ 1 - \sqrt{3} < x < 1 + \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = 0 $:
    1 - raiz3 < x < 1 + raiz3 → Função crescente.
  • Para $ x > 1 + \sqrt{3} $, por exemplo, $ x = 3 $: x > 1 + raiz3 → Função decrescente.

Passo 7

Com base nisso, podemos concluir que:
  • A função é crescente em $ (-\infty, 1 + \sqrt{3}) $
  • A função é decrescente em $ (1 + \sqrt{3}, +\infty) $
Os pontos $ x = 1 \pm \sqrt{3} $ são pontos de máximo ou mínimo. Como a função muda de crescente para decrescente em $ x = 1 + \sqrt{3} $, esse ponto é um máximo local. O ponto $ x = 1 - \sqrt{3} $ não resulta em mudança de sinal adequada para ser um máximo ou mínimo.

Passo 8

Vamos agora calcular os limites necessários para entender o comportamento da função em extremos.
  1. Limite quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $:
x
Então, a função tende a 2 quando $ x $ vai para $ \pm\infty $.
  1. Limite quando $ x $ tende a valores que podem causar indeterminação:
    Aqui, o denominador $ x^2 + 2 $ nunca é zero, então não há assimptotas verticais.

Passo 9

Para desenhar o gráfico da função, temos as seguintes informações:
  • Assíntota Horizontal: $ y = 2 $
  • Pontos de máximo local: em $ x = 1 + \sqrt{3} $
  • Comportamento:
    • Cresce de $ -\infty $ até $ x = 1 + \sqrt{3} $
    • Decresce depois de $ x = 1 + \sqrt{3} $ em diante
  • Valor da função em $ x = 0 $: y = 2
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico mostrando a função se aproximando de $ y = 2 $ nas laterais, atingindo um pico em $ x = 1 + \sqrt{3} $ e passando pelo ponto $ (0, 0) $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{2x^2 + 4x}{2 + x^2} $ é crescente no intervalo $ (-\infty, 1 + \sqrt{3}) $ e decrescente em $ (1 + \sqrt{3}, +\infty) $. Possui um máximo local em $ x = 1 + \sqrt{3} $. O limite da função quando $ x $ tende a $ \pm\infty $ é 2. O gráfico apresenta uma assíntota horizontal em $ y = 2 $, cresce até $ x = 1 + \sqrt{3} $, decresce após esse ponto e passa pelo ponto $ (0, 0) $.

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