Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(g) f(x)=x e^1x.

Passo 1

O enunciado pede análise completa da função f(x)=x e^1/x: monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (primeira e segunda) e limites para isso.

Passo 2

Para achar a monotonicidade, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia à derivada. Derivando f(x)=xcdot e^1/x obtemos
f'(x)=e^1/x+xcdot e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r)=e^1/xl(1-tfrac1xr)
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é 1-1/x=0 x=1. Como e^1/x>0, o sinal de f' é o sinal de 1-1/x. Fazendo a análise: em (0,1) temos 1-1/x<0 (decrescente), em (1,infty) 1-1/x>0 (crescente) e em (-infty,0) 1-1/x>0 (sempre crescente).

Passo 3

Para a concavidade, derivamos f' e obtemos
f''(x)=e^1/xx^3
Como e^1/x>0 o sinal de f'' é o de 1/x^3. Logo em (0,infty) f''>0 (côncava para cima) e em (-infty,0) f''<0 (côncava para baixo). Não há troca de sinal de f'' em ponto do domínio, logo não há ponto de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, observamos também os limites:
  • xto0^+: f(x)to+infty (assíntota vertical em x=0).
  • xto0^-: f(x)to0^-.
  • xtopminfty: usando expansão e^1/xapprox1+1/x, f(x)=x e^1/xapprox x+1, há assíntota oblíqua y=x+1.

Passo 5

Pontos chave: crescimento em (-infty,0) e (1,infty), decrescimento em (0,1), concavidade para baixo em (-infty,0), para cima em (0,infty), mínimo local em (1,e).

Resposta

(1) f crescente em (-∞,0) e (1,∞), decrescente em (0,1). (2) f é côncava para baixo em (-∞,0), côncava para cima em (0,∞); não há ponto de inflexão no domínio. (3) gráfico apresenta assíntota vertical em x=0, assíntota oblíqua y=x+1, mínimo local em (1,e), cresce de (1,∞) e de (-∞,0), decresce em (0,1).

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