Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(g)
.
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(g)
Passo 1
O enunciado pede análise completa da função
: monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar derivadas (primeira e segunda) e limites para isso.
Passo 2
Para achar a monotonicidade, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia à derivada. Derivando
obtemos
Os pontos críticos vêm de
Passo 3
Para a concavidade, derivamos
e obtemos
Como
Passo 4
Para esboçar o gráfico, observamos também os limites:
-
: (assíntota vertical em ). -
: . -
: usando expansão , , há assíntota oblíqua .
Passo 5
Pontos chave: crescimento em
e
, decrescimento em
, concavidade para baixo em
, para cima em
, mínimo local em
.
Resposta
(1) f crescente em (-∞,0) e (1,∞), decrescente em (0,1). (2) f é côncava para baixo em (-∞,0), côncava para cima em (0,∞); não há ponto de inflexão no domínio. (3) gráfico apresenta assíntota vertical em x=0, assíntota oblíqua y=x+1, mínimo local em (1,e), cresce de (1,∞) e de (-∞,0), decresce em (0,1).