Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(m) f(x)=raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(x)=raizx^2+1 usando técnicas de Cálculo Diferencial: vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada para estudar monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Derivando f(x)= (x^2+1)^1/2 obtemos
f'(x)=12(x^2+1)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+1

Passo 3

Como raizx^2+1>0 para todo x, o sinal de f'(x) é o mesmo de x. Logo:
  • Para x<0, f'(x)<0 f decresce em (-infty,0).
  • Para x>0, f'(x)>0 f cresce em (0,infty).
    Em x=0 temos f'(0)=0, ponto de mínimo local.

Passo 4

Agora derivamos f'(x) para achar a concavidade:
f''(x)=ddxl(xraizx^2+1r) =1raizx^2+1 - x^2(x^2+1)^3/2 =1(x^2+1)^3/2>0
Como f''(x)>0 em todo o domínio, f é côncava para cima em R e não há ponto de inflexão.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  • A função é par, tem mínimo em (0,1).
  • À medida que xtopminfty, f(x)=raizx^2+1sim |x|, então o gráfico se aproxima das retas y=x (para xto+infty) e y=-x (para xto-infty).
  • Fica um “V” suave com vértice em (0,1), decrescendo até x=0 e crescendo depois.

Passo 6

Com isso temos todas as informações necessárias para esboçar um gráfico simétrico, com mínimo em (0,1) e concavidade para cima.

Resposta

A função decresce em (-∞,0) e cresce em (0,∞); é côncava para cima em ℝ, sem ponto de inflexão; o gráfico é um “V” suave, par, com vértice em (0,1) e assintotas oblíquas y=±x.

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