Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(m)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(m)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
usando técnicas de Cálculo Diferencial: vamos precisar encontrar a primeira e a segunda derivada para estudar monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Derivando
obtemos
Passo 3
Como
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
. Logo:
- Para
, ⇒ decresce em . - Para
, ⇒ cresce em .
Emtemos , ponto de mínimo local.
Passo 4
Agora derivamos
para achar a concavidade:
Como
em todo o domínio,
é côncava para cima em
e não há ponto de inflexão.
Passo 5
Para esboçar o gráfico:
- A função é par, tem mínimo em
. - À medida que
, , então o gráfico se aproxima das retas (para ) e (para ). - Fica um “V” suave com vértice em
, decrescendo até e crescendo depois.
Passo 6
Com isso temos todas as informações necessárias para esboçar um gráfico simétrico, com mínimo em
e concavidade para cima.
Resposta
A função decresce em (-∞,0) e cresce em (0,∞); é côncava para cima em ℝ, sem ponto de inflexão; o gráfico é um “V” suave, par, com vértice em (0,1) e assintotas oblíquas y=±x.