Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
§
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
§
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo é estudo de monotonicidade, concavidade e esboço de gráfico de funções que combinam parte polinomial e exponencial. Vamos precisar das derivadas primeira e segunda e analisar também comportamentos limites.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento:
Igualando a zero:
Como
é decrescente em
, para
temos
e
(decrescente), e para
temos
e
(crescente). Assim,
decresce em
e cresce em
, com mínimo em
.
Passo 3
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
Como
para todo
,
é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, identificamos as principais características:
- Extremo: mínimo em
, onde
- Assíntota oblíqua: quando
, e , logo a reta é assíntota. - Comportamento em
: domina, logo . - Intercepto em
: .
Passo 5
Com base nesses pontos e na concavidade para cima, o esboço sai de
em
, decresce até o mínimo em
, depois cresce sempre côncava para cima aproximando-se da reta
por baixo sem cruzá-la.
Resposta
(1) f decresce em (-∞,-ln2) e cresce em (-ln2,∞). (2) f é côncava para cima em ℝ, sem pontos de inflexão. (3) Gráfico: mínimo em (-ln2,3-2ln2), curva vinda de +∞ em -∞, depois cresce côncava para cima e se aproxima da assíntota oblíqua y=2x+1.