Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
§ f(x)=2 x+1+e^-x

Passo 1

Temos a função f(x)=2x+1+e^-x. O conteúdo é estudo de monotonicidade, concavidade e esboço de gráfico de funções que combinam parte polinomial e exponencial. Vamos precisar das derivadas primeira e segunda e analisar também comportamentos limites.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento:
f'(x)=2-e^-x
Igualando a zero:
2-e^-x=0 e^-x=2 x=-ln2
Como e^-x é decrescente em x, para x< -ln2 temos e^-x>2 e f'(x)<0 (decrescente), e para x> -ln2 temos e^-x<2 e f'(x)>0 (crescente). Assim, f decresce em (-ln2,infty) e cresce em x=-ln2, com mínimo em .

Passo 3

Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade:
f''(x)=ddx(2-e^-x)=e^-x
Como e^-x>0 para todo x, f é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, identificamos as principais características:
  • Extremo: mínimo em l(-ln2,,f(-ln2)r), onde
f(-ln2)=2(-ln2)+1+2=3-2ln2
  • Assíntota oblíqua: quando xtoinfty, e^-xto0 e f(x)sim2x+1, logo a reta y=2x+1 é assíntota.
  • Comportamento em -infty: e^-xto+infty domina, logo f(x)to+infty.
  • Intercepto em y: f(0)=1+1=2.

Passo 5

Com base nesses pontos e na concavidade para cima, o esboço sai de +infty em -infty, decresce até o mínimo em -ln2,3-2ln2, depois cresce sempre côncava para cima aproximando-se da reta y=2x+1 por baixo sem cruzá-la.

Resposta

(1) f decresce em (-∞,-ln2) e cresce em (-ln2,∞). (2) f é côncava para cima em ℝ, sem pontos de inflexão. (3) Gráfico: mínimo em (-ln2,3-2ln2), curva vinda de +∞ em -∞, depois cresce côncava para cima e se aproxima da assíntota oblíqua y=2x+1.

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