Calcule
integral0^2(3+x+x^22) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral definida! O enunciado pede para calcular a integral de 3 + x + x^22 no intervalo de 0 a 2. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Vamos precisar encontrar as primitivas de cada termo dentro do integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes para facilitar:
integral0^2 (3 + x + x^22) dx = integral0^2 3,dx + integral0^2 x,dx + integral0^2 x^22,dx
Isso ajuda a simplificar o cálculo, lidando com cada termo individualmente.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral 3,dx = 3x + C
    • A integral de uma constante a em relação a x é a x.
  2. integral x,dx = x^22 + C
    • A integral de x^n é x^n+1n+1.
  3. integral x^22,dx = 12 cdot x^33 = x^36 + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2 para cada primitiva:
  1. 3x de 0 a 2: 3(2) - 3(0) = 6 - 0 = 6
  2. x^22 de 0 a 2: 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2 - 0 = 2
  3. x^36 de 0 a 2: 2^36 - 0^36 = 86 - 0 = 43 - 0 = 43

Passo 5

Agora, somamos os resultados obtidos:
6 + 2 + 43 = 8 + 43 = 243 + 43 = 283

Resposta

O valor da integral é 283.

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