Deve-se construir um depósito retangular sem tampa e com volume
. O custo por
do material a ser usado é
para o fundo,
para a frente e
pora dois dos lodos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizem o custo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre otimização na construção de um depósito retangular sem tampa. A gente precisa achar as dimensões que minimizam o custo total usando conhecimentos de cálculo, especificamente de otimização. Para isso, vamos precisar montar funções que representem o volume e o custo, e depois otimizar o custo usando a condição do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento do depósito. - Seja
a largura do depósito. - Seja
a altura do depósito.
Como o depósito é retangular sem tampa, temos que calcular as áreas das partes que vão ser construídas.
Passo 3
Sabemos que o volume
do depósito é dado por:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Vamos expressar
em função de
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do depósito:
- Fundo:
- Frente e trás:
- Laterais:
Passo 6
O custo total
é a soma dos custos das diferentes partes:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Simplificando:
Passo 8
Para minimizar o custo, vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Passo 9
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 10
Temos as duas equações:
Vamos substituir
da primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Como
, temos:
Passo 11
Agora, substituímos
para encontrar
:
Passo 12
Finalmente, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
- Comprimento
- Largura
- Altura