Deve-se construir um depósito retangular sem tampa e com volume V=12 m^3. O custo por m^2 do material a ser usado é R para o fundo, para o fundo, para a frente e 300,00 pora dois dos lodos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizem o custo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre otimização na construção de um depósito retangular sem tampa. A gente precisa achar as dimensões que minimizam o custo total usando conhecimentos de cálculo, especificamente de otimização. Para isso, vamos precisar montar funções que representem o volume e o custo, e depois otimizar o custo usando a condição do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento do depósito.
  • Seja a largura do depósito.
  • Seja a altura do depósito.
Como o depósito é retangular sem tampa, temos que calcular as áreas das partes que vão ser construídas.

Passo 3

Sabemos que o volume V = x times y times h = 12 , m^3 do depósito é dado por:
x cdot y cdot h = 12
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Vamos expressar h = 12x cdot y em função de e :

Passo 5

Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes do depósito:
  • Fundo:
  • Frente e trás:
  • Laterais:

Passo 6

O custo total C = 400 times (x cdot y) + 300 times (2 cdot x cdot h) + 100 times (2 cdot y cdot h) é a soma dos custos das diferentes partes:
C = 400xy + 600xh + 200yh
Simplificando:

Passo 7

Substituindo C = 400xy + 600x ( 12xy ) + 200y ( 12xy ) pela expressão que encontramos:
C = 400xy + 7200y + 2400x
Simplificando:

Passo 8

Para minimizar o custo, vamos derivar partial Cpartial x = 400y - 2400x^2 = 0 Rightarrow 400y = 2400x^2 Rightarrow y = 6x^2 em relação a e e igualar a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :

Passo 9

Agora, a derivada parcial em relação a partial Cpartial y = 400x - 7200y^2 = 0 Rightarrow 400x = 7200y^2 Rightarrow x = 18y^2 :

Passo 10

Temos as duas equações:
y = 6x^2 e x = 18y^2
Vamos substituir x = 18( 6x^2 )^2 = 1836x^4 = 18x^436 = x^42 da primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 2:
2x = x^4 Rightarrow x^4 - 2x = 0 Rightarrow x(x^3 - 2) = 0
Como x^3 = 2 Rightarrow x = raiz[3]2 approx 1,26 , m , temos:

Passo 11

Agora, substituímos y = 6x^2 = 6(raiz[3]2)^2 = 62^2/3 approx 61,59 approx 3,78 , m para encontrar :

Passo 12

Finalmente, encontramos h = 12x cdot y = 12raiz[3]2 times 6raiz[3]2^2 = 126 raiz[3]2^-1 = 2 raiz[3]2 approx 2,52 , m usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
  • Comprimento
  • Largura
  • Altura

Exercícios relacionados