Mostre que
onde
. Conclua que
para quais quer sejam
reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo onde precisamos mostrar que a integral de $ x $ de 0 até $ c $ é igual a $ \frac{c^{2}}{2} $. Depois, vamos estender isso para a integral de $ x $ de $ a $ até $ b $, mostrando que fica $ \frac{b{2}-a{2}}{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de integrais definidas e regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de $ x $ de 0 até $ c $. A integral de uma função $ f(x) = x $ é encontrada usando a regra de potência. A regra de potência nos diz que:
onde $ C $ é a constante de integração e $ n \neq -1 $.
Passo 3
Aplicando a regra de potência para $ f(x) = x $, temos $ n = 1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a $ c $. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada $ \frac{x^{2}}{2} $ nos limites de 0 a $ c $:
Passo 5
Então, mostramos que:
Passo 6
Agora, vamos generalizar para a integral de $ x $ de $ a $ até $ b $. Usamos a mesma antiderivada $ \frac{x^{2}}{2} $ e aplicamos nos limites de $ a $ a $ b $:
Resposta
Portanto,