Mostre que
integral0^c x d x=c^22
onde c >= 0. Conclua que
integrala^b x d x=b^2-a^22
para quais quer sejam a reais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo onde precisamos mostrar que a integral de $ x $ de 0 até $ c $ é igual a $ \frac{c^{2}}{2} $. Depois, vamos estender isso para a integral de $ x $ de $ a $ até $ b $, mostrando que fica $ \frac{b{2}-a{2}}{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de integrais definidas e regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de $ x $ de 0 até $ c $. A integral de uma função $ f(x) = x $ é encontrada usando a regra de potência. A regra de potência nos diz que:
x
onde $ C $ é a constante de integração e $ n \neq -1 $.

Passo 3

Aplicando a regra de potência para $ f(x) = x $, temos $ n = 1 $:
f(x) = x

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a $ c $. Isso significa que vamos avaliar a antiderivada $ \frac{x^{2}}{2} $ nos limites de 0 a $ c $:
c

Passo 5

Então, mostramos que:
integral0^c x , dx = c^22

Passo 6

Agora, vamos generalizar para a integral de $ x $ de $ a $ até $ b $. Usamos a mesma antiderivada $ \frac{x^{2}}{2} $ e aplicamos nos limites de $ a $ a $ b $:
x

Resposta

Portanto,
integrala^b x , dx = b^2 - a^22

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