Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(o)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(o)
Passo 1
A questão pede que a gente analise a função f(x)=√(x²−4): determine onde ela cresce e decresce, estude sua concavidade e pontos de inflexão, e por fim faça um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar do domínio, das derivadas primeira e segunda, dos limites no infinito e da simetria da função.
Passo 2
O domínio vem de x²−4≥0, logo
Note que f é par, pois
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada primeira:
Como o denominador é positivo no domínio, o sinal de f’(x) é o de x. Logo f’(x)<0 em (-∞,−2) (função decrescente) e f’(x)>0 em (2,∞) (função crescente).
Passo 4
Para a concavidade, derivamos de novo:
Esse resultado é sempre negativo no domínio, logo f é sempre côncava para baixo e não há ponto de inflexão (f’’ não muda de sinal).
Passo 5
Analisando os limites para assíntotas oblíquas, note que para |x|→∞
Isso mostra assíntota y=x para x→+∞ e y=−x para x→−∞. Os zeros estão em x=±2, onde f(±2)=0.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, marque os pontos (2,0) e (-2,0), trace as assíntotas oblíquas y=x e y=-x, lembre que a curva fica abaixo daquelas retas e sempre côncava para baixo. Como f é par, a parte negativa de x é o espelho da positiva. Isso nos dá duas “ramificações” simétricas, decrescente até x=-2 e crescente a partir de x=2.
Passo 7
Pronto: temos domínio em (-∞,-2]∪[2,∞), decresce em (-∞,-2), cresce em (2,∞), é sempre côncava para baixo, sem inflexões, simétrica e com assíntotas oblíquas y=±x. O esboço segue esses traços.
Resposta
f decrescente em (-∞,-2) e crescente em (2,∞); sempre côncava para baixo, sem ponto de inflexão; zeros em x=±2; simetria par; assíntotas oblíquas y=x (x→+∞) e y=-x (x→-∞).