Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(o) f(x)=raizx^2-4

Passo 1

A questão pede que a gente analise a função f(x)=√(x²−4): determine onde ela cresce e decresce, estude sua concavidade e pontos de inflexão, e por fim faça um esboço do gráfico. Para isso vamos precisar do domínio, das derivadas primeira e segunda, dos limites no infinito e da simetria da função.

Passo 2

O domínio vem de x²−4≥0, logo
xin(-infty,-2]cup[2,infty)
Note que f é par, pois f(-x)=raiz(-x)^2-4=f(x), o que simplifica o esboço, bastando espelhar no eixo y.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^2-4r)^1/2=12(x^2-4)^-1/2cdot2x=xraizx^2-4
Como o denominador é positivo no domínio, o sinal de f’(x) é o de x. Logo f’(x)<0 em (-∞,−2) (função decrescente) e f’(x)>0 em (2,∞) (função crescente).

Passo 4

Para a concavidade, derivamos de novo:
f''(x)=ddxl[x(x^2-4)^-1/2r] =-4(x^2-4)^3/2
Esse resultado é sempre negativo no domínio, logo f é sempre côncava para baixo e não há ponto de inflexão (f’’ não muda de sinal).

Passo 5

Analisando os limites para assíntotas oblíquas, note que para |x|→∞
f(x)=raizx^2-4=|x|raiz1-4/x^2sim|x|l(1-2x^2r)=|x|-2|x|
Isso mostra assíntota y=x para x→+∞ e y=−x para x→−∞. Os zeros estão em x=±2, onde f(±2)=0.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marque os pontos (2,0) e (-2,0), trace as assíntotas oblíquas y=x e y=-x, lembre que a curva fica abaixo daquelas retas e sempre côncava para baixo. Como f é par, a parte negativa de x é o espelho da positiva. Isso nos dá duas “ramificações” simétricas, decrescente até x=-2 e crescente a partir de x=2.

Passo 7

Pronto: temos domínio em (-∞,-2]∪[2,∞), decresce em (-∞,-2), cresce em (2,∞), é sempre côncava para baixo, sem inflexões, simétrica e com assíntotas oblíquas y=±x. O esboço segue esses traços.

Resposta

f decrescente em (-∞,-2) e crescente em (2,∞); sempre côncava para baixo, sem ponto de inflexão; zeros em x=±2; simetria par; assíntotas oblíquas y=x (x→+∞) e y=-x (x→-∞).

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