Prove que
para cada
e
.
Passo 1
Vamos provar a desigualdade usando o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções diferenciáveis.
Passo 2
Definimos a função f(t)=t^{−x}, que é contínua em [2j−1,2j] e diferenciável em (2j−1,2j). Pelo TVM, existe c∈(2j−1,2j) tal que
Passo 3
Calculamos f’(t)=−x,t^{−(x+1)}. Logo,
Passo 4
Como c>2j−1 temos c{x+1}>(2j−1){x+1}, logo
o que dá exatamente
Resposta
A desigualdade é verdadeira para todo j≥1 e x>0, como comprovado acima.