Prove que
1(2 j-1)^x-1(2 j)^x <= x(2 j-1)^x+1
para cada j >= 1 e x>0.

Passo 1

Vamos provar a desigualdade usando o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções diferenciáveis.

Passo 2

Definimos a função f(t)=t^{−x}, que é contínua em [2j−1,2j] e diferenciável em (2j−1,2j). Pelo TVM, existe c∈(2j−1,2j) tal que
f(2j-1)-f(2j)=f'(c)igl((2j-1)-(2j)r) 

Passo 3

Calculamos f’(t)=−x,t^{−(x+1)}. Logo,
f(2j-1)-f(2j)=-f'(c)=x,c^-(x+1)

Passo 4

Como c>2j−1 temos c{x+1}>(2j−1){x+1}, logo
x,c^-(x+1)<= x,(2j-1)^-(x+1),
o que dá exatamente
1(2j-1)^x-1(2j)^x<=x(2j-1)^x+1

Resposta

A desigualdade é verdadeira para todo j≥1 e x>0, como comprovado acima.

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