d xd t=3 x-y-z
d yd t=x+y-z
d zd t=x-y+z

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dxdt=3x-y-z, dydt=x+y-z, dzdt=x-y+z
Isso cai em teoria de sistemas lineares de EDOs no formato X'=AX, onde vamos precisar montar a matriz de coeficientes, achar os autovalores e autovetores de A e usar que a solução geral é combinação linear de e^lambda tv.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz
A=3 & -1 & -11 & 1 & -11 & -1 & 1
para reescrever o sistema como X'=AX.

Passo 3

Depois, calculamos o polinômio característico de A via
det(A-lambda I)=det3-lambda & -1 & -11 & 1-lambda & -11 & -1 & 1-lambda=0
Expandindo, obtemos
-lambda^3+5lambda^2-8lambda+4=0
ou seja
lambda^3-5lambda^2+8lambda-4=0

Passo 4

Resolvendo lambda^3-5lambda^2+8lambda-4=0, testamos lambda=1 e lambda=2. O polinômio fatora como
(lambda-1)(lambda-2)^2=0, \nportanto os autovalores são
lambda1=1, lambda2=lambda3=2

Passo 5

Para cada autovalor, achamos os autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0:
  • Para lambda=1,
(A-I)=2 & -1 & -11 & 0 & -11 & -1 & 0,
que leva às equações z=x, y=x. Um autovetor é v1=(1,1,1).
  • Para lambda=2,
(A-2I)=1 & -1 & -11 & -1 & -11 & -1 & -1,
que dá x=y+z. Duas escolhas independentes são v2=(1,1,0) e v3=(1,0,1).

Passo 6

Como temos três autovetores independentes, A é diagonalizável. A solução geral do sistema é
X(t)=C1e^,1tv1 + C2e^,2tv2 + C3e^,2tv3,
onde C1,C2,C3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral é
x(t)y(t)z(t) =C1e^t111 + C2e^2t110 + C3e^2t101

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