Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde
é crescente e decrescente. Esboce o gráfico de cada função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $, classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais, descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, e para encontrar os pontos críticos, queremos saber onde essa inclinação é zero.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Podemos fatorar a equação:
Então, as soluções são:
Portanto, temos dois pontos críticos: $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Vamos classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar a derivada primeira ao redor desses pontos. Vou optar por verificar o sinal da derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
Primeiro, note que $ f’(x) = 3x(x - 2) $.
Vamos analisar os sinais em cada intervalo:
-
Para $ x < 0 $:
- $ x $ é negativo.
- $ x - 2 $ também é negativo.
- $ f’(x) = 3 \times negativo \times negativo = positivo $
- A função está crescendo.
-
Para $ 0 < x < 2 $:
- $ x $ é positivo.
- $ x - 2 $ é negativo.
- $ f’(x) = 3 \times positivo \times negativo = negativo $
- A função está decrescendo.
-
Para $ x > 2 $:
- $ x $ é positivo.
- $ x - 2 $ é positivo.
- $ f’(x) = 3 \times positivo \times positivo = positivo $
- A função está crescendo.
Passo 5
Com base nos sinais da derivada, podemos classificar os pontos críticos:
-
Em $ x = 0 $:
- A derivada muda de positiva para negativa.
- Isso indica um ponto de máximo local.
-
Em $ x = 2 $:
- A derivada muda de negativa para positiva.
- Isso indica um ponto de mínimo local.
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo:
- Crescente em $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $
- Decrescente em $ (0, 2) $
Passo 7
Para esboçar o gráfico, podemos considerar as seguintes informações:
- A função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ é um polinômio de grau 3, então seu gráfico será uma curva contínua que vai de um extremo ao outro.
- Tem um ponto de máximo local em $ x = 0 $ e um ponto de mínimo local em $ x = 2 $.
- A função está crescendo antes de $ x = 0 $ e depois de $ x = 2 $, e está decrescendo entre $ 0 $ e $ 2 $.
- O valor de $ f(0) = 6 $ e $ f(2) = 2^{3} - 3 \times 2^{2} + 6 = 8 - 12 + 6 = 2 $.
Com essas informações, você pode desenhar o gráfico mostrando esses pontos e o comportamento da função nos intervalos indicados.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ são $ x = 0 $ (máximo local) e $ x = 2 $ (mínimo local). A função está crescente nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (0, 2) $. O esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos.