Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. Esboce o gráfico de cada função.
f(x)=x^3-3 x^2+6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $, classificar esses pontos como máximos ou mínimos locais, descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, e também esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto, e para encontrar os pontos críticos, queremos saber onde essa inclinação é zero.
A derivada de $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Podemos fatorar a equação:
3x^2 - 6x = 0
Então, as soluções são:
3x(x - 2) = 0
Portanto, temos dois pontos críticos: $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 4

Vamos classificar esses pontos críticos como máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar a derivada primeira ao redor desses pontos. Vou optar por verificar o sinal da derivada nos intervalos definidos pelos pontos críticos.
Primeiro, note que $ f’(x) = 3x(x - 2) $.
Vamos analisar os sinais em cada intervalo:
  1. Para $ x < 0 $:
    • $ x $ é negativo.
    • $ x - 2 $ também é negativo.
    • $ f’(x) = 3 \times negativo \times negativo = positivo $
    • A função está crescendo.
  2. Para $ 0 < x < 2 $:
    • $ x $ é positivo.
    • $ x - 2 $ é negativo.
    • $ f’(x) = 3 \times positivo \times negativo = negativo $
    • A função está decrescendo.
  3. Para $ x > 2 $:
    • $ x $ é positivo.
    • $ x - 2 $ é positivo.
    • $ f’(x) = 3 \times positivo \times positivo = positivo $
    • A função está crescendo.

Passo 5

Com base nos sinais da derivada, podemos classificar os pontos críticos:
  • Em $ x = 0 $:
    • A derivada muda de positiva para negativa.
    • Isso indica um ponto de máximo local.
  • Em $ x = 2 $:
    • A derivada muda de negativa para positiva.
    • Isso indica um ponto de mínimo local.

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos onde a função está crescendo e decrescendo:
  • Crescente em $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $
  • Decrescente em $ (0, 2) $

Passo 7

Para esboçar o gráfico, podemos considerar as seguintes informações:
  • A função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ é um polinômio de grau 3, então seu gráfico será uma curva contínua que vai de um extremo ao outro.
  • Tem um ponto de máximo local em $ x = 0 $ e um ponto de mínimo local em $ x = 2 $.
  • A função está crescendo antes de $ x = 0 $ e depois de $ x = 2 $, e está decrescendo entre $ 0 $ e $ 2 $.
  • O valor de $ f(0) = 6 $ e $ f(2) = 2^{3} - 3 \times 2^{2} + 6 = 8 - 12 + 6 = 2 $.
Com essas informações, você pode desenhar o gráfico mostrando esses pontos e o comportamento da função nos intervalos indicados.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 6 $ são $ x = 0 $ (máximo local) e $ x = 2 $ (mínimo local). A função está crescente nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (2, +\infty) $, e decrescente no intervalo $ (0, 2) $. O esboço do gráfico reflete esses pontos e comportamentos.

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