1. (Taxas relacionadas - 2,5 pontos) Uma bola de neve está se formando de tal forma que seu volume aumenta a uma taxa de 5 cm^3 / min. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 6 cm de diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola de neve que está crescendo, e o volume dela está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir quão rápido o raio dessa bola está aumentando quando o diâmetro for de 6 cm. Isso envolve o estudo de taxas relacionadas, que é um tópico de cálculo diferencial onde relacionamos como diferentes medidas mudam ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera, que é a forma da bola de neve:
V = 43 pi r^3
Aqui, é o volume e é o raio da esfera.

Passo 3

Como queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo dVdt = 4 pi r^2 drdt . Ou seja, vamos encontrar :
Essa derivada nos mostra como o volume está mudando com o tempo em função de como o raio está mudando.

Passo 4

O exercício nos dá que r = 62 = 3 , cm . Também sabemos que o diâmetro da bola é 6 cm, então o raio é metade disso:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos na equação da derivada:
5 = 4 pi (3)^2 drdt
5 = 4 pi times 9 times drdt
5 = 36 pi drdt

Passo 6

Para encontrar drdt = 536 pi , basta isolar essa taxa na equação:

Resposta

A taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tem 6 cm de diâmetro é:
drdt = 536 pi , cm/min

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