- (Taxas relacionadas - 2,5 pontos) Uma bola de neve está se formando de tal forma que seu volume aumenta a uma taxa de
. Ache a taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tiver 6 cm de diâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma bola de neve que está crescendo, e o volume dela está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido o raio dessa bola está aumentando quando o diâmetro for de 6 cm. Isso envolve o estudo de taxas relacionadas, que é um tópico de cálculo diferencial onde relacionamos como diferentes medidas mudam ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera, que é a forma da bola de neve:
Aqui,
é o volume e
é o raio da esfera.
Passo 3
Como queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Ou seja, vamos encontrar
:
Essa derivada nos mostra como o volume está mudando com o tempo em função de como o raio está mudando.
Passo 4
O exercício nos dá que
. Também sabemos que o diâmetro da bola é 6 cm, então o raio
é metade disso:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos na equação da derivada:
Passo 6
Para encontrar
, basta isolar essa taxa na equação:
Resposta
A taxa segundo a qual o raio está crescendo quando a bola de neve tem 6 cm de diâmetro é: