- (Cálculo de derivada pela definição - 2,5 pontos) Calcule pela definição a deridada da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicá-la usando a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada pelo limite:
Isso basicamente nos diz a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Vamos substituir na fórmula da derivada:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar a técnica de racionalização para expressões com raízes. Sabemos que:
Isso nos ajudará a simplificar a expressão.
Passo 5
Vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado da diferença das raízes:
Isso vai simplificar o numerador usando a identidade de diferença de cubos.
Passo 6
Simplificando o numerador usando
:
Simplificando dentro do numerador:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos avaliar o limite quando
tende a 0. Note que:
Portanto, substituindo:
Resposta
A derivada da função
é: