1. (Cálculo de derivada pela definição - 2,5 pontos) Calcule pela definição a deridada da função dada.
    f(x)=raiz[3]x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicá-la usando a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h em um ponto é dada pelo limite:
Isso basicamente nos diz a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f'(x) = limh to 0 raiz[3](x+h)+2 - raiz[3]x+2h . Vamos substituir na fórmula da derivada:
f'(x) = limh to 0 raiz[3]x + h + 2 - raiz[3]x + 2h
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar a técnica de racionalização para expressões com raízes. Sabemos que:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Isso nos ajudará a simplificar a expressão.

Passo 5

Vamos multiplicar e dividir a fração pelo conjugado da diferença das raízes:
f'(x) = limh to 0 raiz[3]x + h + 2 - raiz[3]x + 2h times (raiz[3]x + h + 2)^2 + raiz[3]x + h + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2(raiz[3]x + h + 2)^2 + raiz[3]x + h + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2
Isso vai simplificar o numerador usando a identidade de diferença de cubos.

Passo 6

Simplificando o numerador usando f'(x) = limh to 0 (x + h + 2) - (x + 2)h [ (raiz[3]x + h + 2)^2 + raiz[3]x + h + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2 ] :
(x + h + 2) - (x + 2) = h
Simplificando dentro do numerador:
f'(x) = limh to 0 hh [ (raiz[3]x + h + 2)^2 + raiz[3]x + h + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2 ] = limh to 0 1 (raiz[3]x + h + 2)^2 + raiz[3]x + h + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite quando raiz[3]x + h + 2 to raiz[3]x + 2 quando h to 0 tende a 0. Note que:
f'(x) = 1 (raiz[3]x + 2)^2 + raiz[3]x + 2raiz[3]x + 2 + (raiz[3]x + 2)^2 = 13 (raiz[3]x + 2)^2
Portanto, substituindo:

Resposta

A derivada da função f'(x) = 13 (raiz[3]x + 2)^2 é:

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