- (Continuidade e derivabilidade
pontos) Dada a funçăo:
a) determine b para que
seja continua em em b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre continuidade de uma função em um ponto específico. A função
está definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
em relação a
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que a função seja contínua em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite da função quando
se aproxima de
pelo lado esquerdo for igual ao limite quando
se aproxima de
pelo lado direito, e ambos forem iguais ao valor da função em
.
Matematicamente, isso significa:
Passo 3
Vamos começar calculando o limite à esquerda de
quando
se aproxima de
. Para valores de
menores que
, a função é dada por
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite à direita de
quando
se aproxima de
. Para valores de
maiores ou iguais a
, a função é
. Então:
Passo 5
Sabemos que para a função ser contínua em
, esses dois limites precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Já que
está na segunda parte da função, temos:
Então, igualamos os limites:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos:
Multiplicamos toda a equação por 4 para simplificar:
Passo 7
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando que uma equação quadrática é da forma
, onde:
O discriminante
é:
Como
, temos uma raiz dupla:
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua em
é
.