1. (Continuidade e derivabilidade -2,5 pontos) Dada a funçăo:
f(x)=ll 1x, & se 0
a) determine b para que f(x) seja continua em em b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre continuidade de uma função em um ponto específico. A função está definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de em relação a . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em limx to b^- f(x) = limx to b^+ f(x) = f(b) se o limite da função quando se aproxima de pelo lado esquerdo for igual ao limite quando se aproxima de pelo lado direito, e ambos forem iguais ao valor da função em .
Matematicamente, isso significa:

Passo 3

Vamos começar calculando o limite à esquerda de limx to b^- f(x) = limx to b^- 1x = 1b quando se aproxima de . Para valores de menores que , a função é dada por . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite à direita de limx to b^+ f(x) = limx to b^+ (1 - 14x) = 1 - 14b quando se aproxima de . Para valores de maiores ou iguais a , a função é . Então:

Passo 5

Sabemos que para a função ser contínua em f(b) = 1 - 14b , esses dois limites precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em 1b = 1 - 14b . Já que está na segunda parte da função, temos:
Então, igualamos os limites:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 1 = b - 14b^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 14b^2 - b + 1 = 0 para eliminar o denominador:
b^2 - 4b + 4 = 0
Reorganizando os termos:
Multiplicamos toda a equação por 4 para simplificar:

Passo 7

Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara. Lembrando que uma equação quadrática é da forma a = 1, b = -4, c = 4 , onde:
De
O discriminante b = -b2a = 42 = 2 é:
Como , temos uma raiz dupla:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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