Para cada uma das funções
abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função
, além de descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
em relação a
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinado ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Vamos resolver essa equação:
Tomando a raiz cúbica:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de
.
A primeira derivada é:
Agora, derivamos novamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a segunda derivada é:
Vamos avaliar a segunda derivada em
:
Como
, isso significa que a função tem um mínimo local em
.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada
em diferentes intervalos.
Temos que
.
Vamos encontrar os intervalos com base no ponto crítico
:
-
Para
: - Escolha um valor, por exemplo,
. -
(negativo). - Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Escolha um valor, por exemplo,
-
Para
: - Escolha um valor, por exemplo,
. -
(positivo). - Então, a função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha um valor, por exemplo,
Resposta
A função
possui um mínimo local em
. Além disso, ela está decrescendo no intervalo
e crescendo no intervalo
.