Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
f(x)=x^2+2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função , além de descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de f(x) = x^2 + 2x em relação a f'(x) = 2x - 2x^2 . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em determinado ponto.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero e resolver para 2x - 2x^2 = 0 :
2x = 2x^2 Mu
Vamos resolver essa equação:
Tomando a raiz cúbica:
x = 1
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada de f'(x) = 2x - 2x^2 .
A primeira derivada é:
f''(x) = 2 + 4x^3
Agora, derivamos novamente:
  • A derivada de f''(1) = 2 + 41^3 = 2 + 4 = 6 é .
  • A derivada de é .
Então, a segunda derivada é:
Vamos avaliar a segunda derivada em :
Como , isso significa que a função tem um mínimo local em .

Passo 5

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada em diferentes intervalos.
Temos que .
Vamos encontrar os intervalos com base no ponto crítico :
  1. Para :
    • Escolha um valor, por exemplo, .
    • (negativo).
    • Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  2. Para :
    • Escolha um valor, por exemplo, .
    • (positivo).
    • Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função possui um mínimo local em . Além disso, ela está decrescendo no intervalo e crescendo no intervalo .

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