Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2+1.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede domínio e imagem da função de duas variáveis definida por f(x,y)=raizx^2+y^2+1. O conteúdo é análise de domínio (condição de existência de raiz) e determinação do conjunto imagem (valores que f assume).

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a raiz quadrada só existe para radicando não negativo. Aqui o radicando é x^2+y^2. Como para todos (x,y)inR^2 temos x^2+y^2>=0, não há restrição adicional. Logo, o domínio é todo o plano.

Passo 3

Para encontrar o conjunto imagem, observamos que raizx^2+y^2 é a distância do ponto (x,y) até a origem, logo varia de 0 (quando (x,y)=(0,0)) até +infty. Então f(x,y)=raizx^2+y^2+1 varia de 0+1=1 até +infty+1=+infty.

Passo 4

Verificamos também que o valor mínimo 1 é efetivamente atingido em (0,0), e não há valor máximo finito. Portanto o conjunto imagem é o intervalo fechado de 1 até infinito.

Resposta

Domínio: R^2. Conjunto imagem: [1,infty).

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