Considere a sequência
A sequência é monótona? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por radicais aninhados: cada termo é a raiz quadrada de 12 mais o termo anterior. A gente quer saber se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre crescendo ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e suas propriedades de monotonicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a sequência de forma mais clara. Ela começa com $ a_1 = \sqrt{12} $, e cada termo seguinte é dado por:
Isso significa que cada novo termo depende do anterior. Nosso objetivo é ver se $ a_{n+1} $ é sempre maior ou sempre menor que $ a_n $, ou seja, se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Passo 3
Para verificar a monotonicidade, vamos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_n $. A gente precisa ver se $ a_{n+1} \geq a_n $ (monótona crescente) ou $ a_{n+1} \leq a_n $ (monótona decrescente).
Vamos supor que a sequência seja monótona crescente. Então, a gente verifica se:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Resolvendo essa inequação quadrática, encontramos os valores de $ a_n $ que satisfazem a condição.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática $ a_n^2 - a_n - 12 = 0 $, usamos a fórmula de Bhaskara:
As soluções são $ a_n = 4 $ e $ a_n = -3 $. Mas como estamos lidando com raízes quadradas, $ a_n $ só pode ser positivo. Portanto, a desigualdade $ a_n^2 - a_n - 12 \leq 0 $ vale para $ a_n \leq 4 $.
Passo 5
Isso significa que, enquanto $ a_n \leq 4 $, temos $ a_{n+1} \geq a_n $. Ou seja, a sequência está aumentando. Agora, vamos ver se isso se mantém.
Calculando os primeiros termos:
- $ a_1 = \sqrt{12} \approx 3,464 $
- $ a_2 = \sqrt{12 + 3,464} \approx \sqrt{15,464} \approx 3,933 $
- $ a_3 = \sqrt{12 + 3,933} \approx \sqrt{15,933} \approx 3,992 $
- E assim por diante…
Vemos que os termos estão aumentando e se aproximando de 4.
Passo 6
Além disso, podemos verificar que a sequência está limitada por 4. Ou seja, $ a_n \leq 4 $ para todo $ n $. Como a sequência está aumentando e está limitada, ela é monótona crescente.
Resposta
Sim, a sequência é monótona crescente.