Sabendo que
f(x, y, z)=x e^x-y-z
é correto afirmar que
partial^3 fpartial z partial y partial x(0,0,0)
é igual a:
a) 0
b) 1
c) e
d) 2 e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a terceira derivada parcial mista da função em . Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, um tópico de cálculo multivariado. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação passo a passo, explicando cada parte pra ficar bem claro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
f(x, y, z) = x e^x - y - z
Queremos encontrar:
partial^3 fpartial z partial y partial x(0,0,0)
Isso significa que vamos derivar primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a , e então avaliar no ponto .

Passo 3

Vamos começar derivando partial fpartial x = partialpartial x ( x e^x - y - z ) em relação a partial fpartial x = u'v + uv' = 1 cdot e^x - y - z + x cdot e^x - y - z cdot (1) :
partial fpartial x = e^x - y - z (1 + x)
Aqui, usamos a regra do produto: se e , então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, derivamos o resultado acima em relação a partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y ( e^x - y - z (1 + x) ) :
partial^2 fpartial y partial x = (1 + x) cdot partialpartial y ( e^x - y - z )
Como partialpartial y ( e^x - y - z ) = -e^x - y - z não depende de partial^2 fpartial y partial x = - (1 + x) e^x - y - z , fica:
Derivando em relação a :
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar o resultado acima em relação a partial^3 fpartial z partial y partial x = partialpartial z ( - (1 + x) e^x - y - z ) :
partial^3 fpartial z partial y partial x = - (1 + x) cdot partialpartial z ( e^x - y - z )
Novamente, partialpartial z ( e^x - y - z ) = -e^x - y - z não depende de partial^3 fpartial z partial y partial x = (1 + x) e^x - y - z , então:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 6

Finalmente, avaliamos a derivada no ponto partial^3 fpartial z partial y partial x(0,0,0) = (1 + 0) e^0 - 0 - 0 = 1 cdot e^0 = 1 cdot 1 = 1 :

Resposta

A derivada parcial mista é igual a 1.

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