Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
f(x)=ln (x^2+2)

Passo 1

Temos a função f(x)=ln(x^2+2) e queremos determinar os pontos de máximo e mínimo relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Para identificar extremos e monotonicidade calculamos a primeira derivada. Sabendo que, para f(x)=ln(u(x)), vale f'(x)=u'(x)/u(x) com u(x)=x^2+2:
f'(x)=2xx^2+2

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Aqui f'(x) existe para todo x, e f'(x)=0 leva a
2x=0Longrightarrow x=0

Passo 4

Para classificar esse ponto usamos a segunda derivada. Derivando f'(x):
f''(x)=(2)(x^2+2)-2x(2x)(x^2+2)^2=4-2x^2(x^2+2)^2

Passo 5

Avaliaremos f''(0):
f''(0)=4-2cdot0^2(0^2+2)^2=44=1>0 Como f''(0)>0, a concavidade é para cima em x=0 e isso indica um mínimo relativo.

Passo 6

Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x)=2x/(x^2+2). Como o denominador x^2+2>0 para todo x, o sinal de f' é o mesmo de 2x:
  • f'(x)<0 se x<0, logo a função decresce em (-infty,0).
  • f'(x)>0 se x>0, logo a função cresce em (0,infty).

Resposta

A função tem um único ponto crítico em x=0, que é mínimo relativo com f(0)=ln2. Não há máximos relativos. Ela é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).

Exercícios relacionados