Para cada uma das funções
abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
Passo 1
Temos a função
e queremos determinar os pontos de máximo e mínimo relativos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Vamos usar derivadas para isso.
Passo 2
Para identificar extremos e monotonicidade calculamos a primeira derivada. Sabendo que, para
, vale
com
:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem quando
ou
não existe. Aqui
existe para todo
, e
leva a
Passo 4
Para classificar esse ponto usamos a segunda derivada. Derivando
:
Passo 5
Avaliaremos
:
Passo 6
Para saber onde a função cresce ou decresce, analisamos o sinal de
. Como o denominador
para todo
, o sinal de
é o mesmo de
:
-
se , logo a função decresce em . -
se , logo a função cresce em .
Resposta
A função tem um único ponto crítico em
, que é mínimo relativo com
. Não há máximos relativos. Ela é decrescente em
e crescente em
.