Faça o que se pede em cada um dos casos a seguir.
A série sumn=3^+infty(-1)^n+1 ln nn é convergente? Justifique.

Passo 1

A série em questão é sumn=3^infty(-1)^n+1ln nn. O conteúdo aqui é convergência de séries alternadas, e vamos usar o teste de Leibniz. Para isso, precisamos analisar o termo geral an=ln nn e verificar que ele é positivo, decrescente e tende a zero.

Passo 2

Observamos que a série é alternada pelo fator (-1)^n+1. O termo positivo associado é an=ln nn. Primeiro, confira o limite de an:
limntoinftyln nn=0
Agora mostramos que an é decrescente para n>=3. Considere a função f(x)=ln xx. Seu derivado é
$$
f’(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.
$$

Passo 3

Para x>e temos ln x>1, logo f'(x)<0. Como 3>e, para todo n>=3 vale an+1. Pelo teste de Leibniz, uma série alternada converge se an é decrescente e anto0. Portanto
sumn=3^infty(-1)^n+1ln nn
converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=3^inftyln nn
Usando o teste da integral,
integral3^inftyln xx,dx
diverge, pois integral ln xx,dx=tfrac12(ln x)^2. Logo, a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge, mas não absolutamente. Portanto, há convergência condicional pelo teste de Leibniz.

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