Faça o que se pede em cada um dos casos a seguir.
A série
é convergente? Justifique.
A série
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo aqui é convergência de séries alternadas, e vamos usar o teste de Leibniz. Para isso, precisamos analisar o termo geral
e verificar que ele é positivo, decrescente e tende a zero.
Passo 2
Observamos que a série é alternada pelo fator
. O termo positivo associado é
. Primeiro, confira o limite de
:
Agora mostramos que
$$
f’(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.
$$
Passo 3
Para
temos
, logo
. Como
, para todo
vale
. Pelo teste de Leibniz, uma série alternada converge se
é decrescente e
. Portanto
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Usando o teste da integral,
diverge, pois
. Logo, a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge, mas não absolutamente. Portanto, há convergência condicional pelo teste de Leibniz.