Para cada uma das funções abaixo, determine os valores de k e m que fazem com que a função seja contínua em todos os pontos.
f(x)=ll-raiz2-x, & se x<1, k x+m, & se 1 <= x<2, |x^2-7 x+12|, & se x >= 2

Passo 1

A função é definida por partes e queremos que ela seja contínua em todos os pontos, então precisamos garantir continuidade nos pontos de transição x=1 e x=2. Vamos usar o conceito de limite: em cada ponto de transição, o valor da peça à esquerda deve igualar o valor da peça à direita.

Passo 2

No ponto x=1, o limite pela esquerda é f(1^-) = -\sqrt{2-1} = -1 e o valor pela direita é f(1^+) = k\cdot1 + m = k + m. Para continuidade, temos a equação
k + m = -1

Passo 3

No ponto x=2, o limite pela esquerda é f(2^-) = k\cdot2 + m = 2k + m e o valor pela direita é f(2^+) = |2^2 - 7\cdot2 + 12| = |4 - 14 + 12| = |2| = 2. Para continuidade, obtemos
2k + m = 2

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
k + m = -1, 2k + m = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda: k = 3. Substituindo em k + m = -1, obtemos m = -4.

Resposta

k = 3 e m = -4

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