Terceira Avaliação
Encontre o intervalo e o raio de convergência da série de potências sumn=1^infty (x-2)^n(n+1)^3^n.

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo e o raio de convergência da série de potências centrada em 2 dada por sumn=1^infty (x-2)^n(n+1)^3^n. Vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) para séries de potências.

Passo 2

Para uma série de potências sum an (x-2)^n, o raio de convergência R vem de R=1/L, onde L=limsupntoinfty|an|^1/n. Aqui an=1/(n+1)^3^n. Calculemos a raiz enésima de |an|:
|an|^1/n = l((n+1)^-3^nr)^1/n = (n+1)^-3^n / n

Passo 3

Observe que conforme ntoinfty, o expoente 3^n/n cresce sem limite, então
(n+1)^-3^n / n ;longrightarrow; 0

Passo 4

Logo L=0 e o raio de convergência é
R = 1L = 10 = infty

Passo 5

Como o raio é infinito, a série converge para todo xinR. Não há pontos de fronteira a verificar. Portanto, o intervalo de convergência é ( -infty, +infty )

Resposta

Raio de convergência: R=infty. Intervalo de convergência: ( -infty, +infty ).

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