Terceira Avaliação
Encontre o intervalo e o raio de convergência da série de potências
.
Encontre o intervalo e o raio de convergência da série de potências
Passo 1
O enunciado pede para achar o intervalo e o raio de convergência da série de potências centrada em 2 dada por
. Vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) para séries de potências.
Passo 2
Para uma série de potências
, o raio de convergência
vem de
, onde
. Aqui
. Calculemos a raiz enésima de
:
Passo 3
Observe que conforme
, o expoente
cresce sem limite, então
Passo 4
Logo
e o raio de convergência é
Passo 5
Como o raio é infinito, a série converge para todo
. Não há pontos de fronteira a verificar. Portanto, o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
. Intervalo de convergência:
.