Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=cos t y ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=2-e^-3(t-1)

Passo 1

Temos um Problema de Valor Inicial dydt=cos t,y com y(1)=1. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e totalmente separável, então vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos dyy=cos t,dt, pois toda parte em y vai pra um lado e toda parte em t fica no outro.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados para encontrar a solução geral:
integral 1y,dy = integral cos t,dt
As integrais nos dão
ln|y| = sin t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
y(t) = e^sin t + C = A,e^sin t,
sendo A=e^C.

Passo 5

Para determinar A, usamos a condição y(1)=1:
1 = A,e^sin 1
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A = e^-sin 1
Substituindo em y(t) chegamos à solução particular.

Resposta

y(t)=e^sin t - sin 1

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