Questão 1 (2 pontos). Encontre a solução do PVI abaixo. Encontre também o intervalo máximo de . definição da solução.
l x y^prime+(1+x) y=e^-x sen(2 x) y(pi / 4)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema junto! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para achar a solução dessa equação e o intervalo máximo onde essa solução está definida. Vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem para resolver isso. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear. A equação é:
x y^prime + (1 + x) y = e^-x sin(2x)
Para isso, dividimos todos os termos por $ x $ (lembrando que $ x \neq 0 $):
x
Agora, identificamos $ P(x) = \frac{1 + x}{x} $ e $ Q(x) = \frac{e^{-x} \sin(2x)}{x} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando o lado direito:
x e^x y^prime + (1 + x) e^x y = e^-x sin(2x) e^x
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
x e^x y^prime + (1 + x) e^x y = sin(2x)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Calculando a integral:
x e^x y = integral sin(2x) dx + C
Então, temos:
integral sin(2x) dx = -12 cos(2x) + C

Passo 6

Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(pi4) = 0
Simplificando:
C
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
0 = -cos(2 cdot pi4) 2 cdot pi4 e^pi4 + Cpi4 e^pi4

Resposta

A solução do problema é:
y(x) = -cos(2x) 2 x e^x
E o intervalo máximo de definição dessa solução é $ x > 0 $.

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