Questão 1 (2 pontos). Encontre a solução do PVI abaixo. Encontre também o intervalo máximo de . definição da solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema junto! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para achar a solução dessa equação e o intervalo máximo onde essa solução está definida. Vamos usar o método das equações diferenciais lineares de primeira ordem para resolver isso. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão e encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear. A equação é:
Para isso, dividimos todos os termos por $ x $ (lembrando que $ x \neq 0 $):
Agora, identificamos $ P(x) = \frac{1 + x}{x} $ e $ Q(x) = \frac{e^{-x} \sin(2x)}{x} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando o lado direito:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Calculando a integral:
Então, temos:
Passo 6
Isolamos $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Simplificando:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
Resposta
A solução do problema é:
E o intervalo máximo de definição dessa solução é $ x > 0 $.