Determine a defasagem e represente graficamente os seguintes sinais senoidais:
\mathrm{v}_{1}(\mathrm{t})=5 \operatorname{sen}(100 \pi \mathrm{t}+\pi / 3) \text { e } \mathrm{v}_{2}(\mathrm{t})=8 \operatorname{sen}\left(100 \pi \mathrm{t}-30^{\circ}\right) .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a defasagem entre os sinais v_{1}(t)=5\operatorname{sen}\!\bigl(100\pi t+\pi/3\bigr) e v_{2}(t)=8\operatorname{sen}\!\bigl(100\pi t-30^{\circ}\bigr).
  • Representar graficamente os dois sinais (ou seja, mostrar como desenhar as senóides no eixo tempo com as amplitudes, períodos e deslocamentos de fase).
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • v_{1}(t)=5\operatorname{sen}\!\bigl(100\pi t+\pi/3\bigr).
  • v_{2}(t)=8\operatorname{sen}\!\bigl(100\pi t-30^{\circ}\bigr).

Passo 2

Primeiro padronizo as grandezas que vão aparecer ao desenhar as senóides: frequência angular, frequência e período. Essas quantidades ajudam a saber a escala temporal do gráfico.
  • A frequência angular é \omega = 100\pi.
  • A frequência comum f vem de \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}. Então
f=\frac{100\pi}{2\pi}=50\quad\text{Hz}.
  • O período é T=\dfrac{1}{f}. Logo
T=\frac{1}{50}=0,02\\ \text{s}=20\\ \text{ms}.
Explicação curta (teoria): \omega está em rad/s e relaciona-se com a frequência em Hz por \omega=2\pi f. O período é o tempo entre duas repetições da forma de onda, T=1/f.

Passo 3

Agora extraio as fases (ângulos) de cada sinal e as deixo na mesma unidade (rad e graus) para comparar.
  • Para v_{1}: a fase é \varphi_{1}=\pi/3 (radianos). Em graus \varphi_{1}=60^\circ.
  • Para v_{2}: no enunciado a fase está em graus -30^\circ. Em radianos \varphi_{2}=-\pi/6.
Conversão entre graus e radianos: 180^\circ=\pi rad, portanto multiplicar graus por \pi/180 dá radianos.

Passo 4

Calculo a defasagem (diferença de fase) como
\Delta\varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}.
Substituindo,
\Delta\varphi=\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.
Em graus isso é
\Delta\varphi=60^\circ-(-30^\circ)=90^\circ.
Interpretação prática: \Delta\varphi=\pi/2 rad significa que v_{1} está adiantada (lead) em relação a v_{2} por 90^\circ. Em palavras: v_{1} alcança seus mesmos pontos (por exemplo, máximos) antes de v_{2}.

Passo 5

Converto essa diferença de fase em diferença de tempo, que é útil para desenhar no eixo t. A relação é \Delta t=\dfrac{\Delta\varphi}{\omega}. Então
\Delta t=\frac{\pi/2}{100\pi}=\frac{1}{200}=0,005\\ \text{s}=5\\ \text{ms}.
Isto confirma que v_{1} antecipa v_{2} em 0,005 s.
Também é útil calcular o deslocamento temporal individual de cada sinal em relação a uma senóide de referência \operatorname{sen}(\omega t). Para v(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) o deslocamento de tempo é \tau=-\varphi/\omega.
  • Para v_{1}:
\tau_{1}=-\frac{\varphi_{1}}{\omega}=-\frac{\pi/3}{100\pi}=-\frac{1}{300}\approx -0,003333\\ \text{s}=-3{,}333\\ \text{ms}.
(Sinal negativo indica deslocamento para a esquerda — ou seja, adiantado.)
  • Para v_{2}:
\tau_{2}=-\frac{\varphi_{2}}{\omega}=-\frac{-\pi/6}{100\pi}=\frac{1}{600}\approx 0,001667\\ \text{s}=1{,}667\\ \text{ms}.
Verificação: \tau_{2}-\tau_{1}=0,001667-(-0,003333)=0,005 s, que é o \Delta t encontrado acima.

Passo 6

Para facilitar o desenho, calculo alguns pontos relevantes (valores em t=0 e tempos dos primeiros máximos):
  • Valores em t=0:
v_{1}(0)=5\operatorname{sen}\!\bigl(\pi/3\bigr)=5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}330.
v_{2}(0)=8\operatorname{sen}\!\bigl(-\pi/6\bigr)=8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-4.
  • Tempo do primeiro máximo (resolver \omega t+\varphi=\pi/2 para cada sinal):
t_{\max,1}=\frac{\pi/2-\varphi_{1}}{\omega}=\frac{\pi/2-\pi/3}{100\pi}=\frac{\pi/6}{100\pi}=\frac{1}{600}\approx 0{,}001667\\ \text{s}=1{,}667\\ \text{ms}.
t_{\max,2}=\frac{\pi/2-\varphi_{2}}{\omega}=\frac{\pi/2-(-\pi/6)}{100\pi}=\frac{2\pi/3}{100\pi}=\frac{2}{300}=\frac{1}{150}\approx 0{,}006667\\ \text{s}=6{,}667\\ \text{ms}.
Diferença t_{\max,2}-t_{\max,1}=0{,}005 s como já visto.
Esses pontos (valores em t=0 e tempos dos máximos) são suficientes para posicionar corretamente as curvas quando desenhar.

Passo 7

Como desenhar graficamente (passo a passo prático, conselho para a prova):
  1. Trace o eixo horizontal tempo t (em s) e eixo vertical v (em volts). Use escala temporal que mostre pelo menos um período T=0{,}02 s (por exemplo de t=0 até t=0{,}02 ou t=0{,}01 se quiser duas curvas sobrepostas).
  2. Marque T=0{,}02 s na escala. Marque também divisões correspondentes a T/4=0{,}005 s (porque 90^\circ é um quarto de período).
  3. Para v_{1}:
    • Amplitude máxima +5 e mínima -5.
    • Em t=0 desenhe o ponto v_{1}(0)\approx 4{,}330.
    • O primeiro máximo ocorre em t\approx 0{,}001667 s; depois repete a cada T.
    • Trace uma senóide com esses parâmetros (a forma senoidal padrão, deslocada para a esquerda em 3{,}333 ms em relação a \operatorname{sen}(\omega t)).
  4. Para v_{2}:
    • Amplitude máxima +8 e mínima -8.
    • Em t=0 desenhe o ponto v_{2}(0)=-4.
    • O primeiro máximo ocorre em t\approx 0{,}006667 s.
    • Trace a senóide normalmente (esta está deslocada para a direita em 1{,}667 ms em relação a \operatorname{sen}(\omega t)).
  5. Observe que as duas curvas terão a mesma frequência e período, mas picos de v_{1} aparecem 0{,}005 s antes dos picos de v_{2} — isto é visível como uma separação horizontal de T/4 entre os picos.
  6. Se quiser uma marca visual rápida: desenhe o pico de v_{1} e a partir dele desenhe uma linha vertical para a direita com comprimento 0{,}005 s; o pico de v_{2} estará nessa linha.
Dica empática: se estiver com pressa na prova, marque só t=0, os máximos e T/4 (0,005 s). Com isso já dá para desenhar as duas senóides corretamente e mostrar a defasagem.

Passo 8

Resumo numérico (valores práticos para plotagem e interpretação):
  • \omega=100\pi\\ \text{rad/s}, f=50\\ \text{Hz}, T=0,02\\ \text{s}.
  • \varphi_{1}=\pi/3=60^\circ, \varphi_{2}=-\pi/6=-30^\circ.
  • Defasagem \Delta\varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\pi/2=90^\circ.
  • Diferença temporal \Delta t=\dfrac{\Delta\varphi}{\omega}=0,005\\ \text{s}=5\\ \text{ms}.
  • Valores para plotagem:
    • v_{1}(0)=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4{,}330.
    • v_{2}(0)=-4.
    • Primeiro máximo v_{1} em t\approx 0{,}001667\\ \text{s}; primeiro máximo v_{2} em t\approx 0{,}006667\\ \text{s}.

Resposta

\Delta\varphi=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}=90^\circ (ou seja, v_{1} antecipa v_{2} por 90^\circ).\n \Delta t=\dfrac{\Delta\varphi}{\omega}=0{,}005\\ \text{s}=5\\ \text{ms}.

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