Para cada uma das funções f e g abaixo, encontre o domínio e determine as expressão de f circ g, f circ f, g circ f e g circ g:
f(x)=sen(2 x) e g(x)=1x

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve encontrar o domínio de duas funções e determinar as composições dessas funções. O conteúdo principal aqui é composição de funções e domínio de funções. Para isso, precisamos entender como combinar funções e quais valores de entrada são permitidos para cada função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função Domínio de f: R . A função seno está definida para todos os números reais, então o domínio de é:
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar o domínio da função Domínio de g: x in R, x neq 0 . A função está definida para todos os diferentes de zero, pois não podemos dividir por zero. Portanto, o domínio de é:
í

Passo 4

Vamos determinar a composição f(g(x)) = sin(2 cdot g(x)) = sin(2x) , que significa Domínio de f circ g: x in R, x neq 0 . Primeiro, substituímos em :
Para que esteja definida, precisamos que esteja no domínio de . Como está definida para todos os reais e está definida para , o domínio de é:
í

Passo 5

Agora, vamos determinar a composição f(f(x)) = sin(2 cdot f(x)) = sin(2 cdot sin(2x)) , que significa Domínio de f circ f: R . Substituímos em :
Para que esteja definida, deve estar no domínio de . Como ambas as funções estão definidas para todos os reais, o domínio de é:
í

Passo 6

Vamos agora encontrar a composição g(f(x)) = 1f(x) = 1sin(2x) , que significa Domínio de g circ f: x in R, sin(2x) neq 0 . Substituímos em :
Para que esteja definida, deve estar no domínio de , ou seja, . Portanto, o domínio de é:
í

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a composição g(g(x)) = 1g(x) = 11x = x , que significa Domínio de g circ g: x in R, x neq 0 . Substituímos em :
Para que esteja definida, deve estar no domínio de , ou seja, . Como e , o domínio de é:
í

Resposta

&Domínio de f: R &Domínio de g: x in R, x neq 0 &f circ g(x) = sin(2x), Domínio: x in R, x neq 0 &f circ f(x) = sin(2 cdot sin(2x)), Domínio: R &g circ f(x) = 1sin(2x), Domínio: x in R, sin(2x) neq 0 &g circ g(x) = x, Domínio: x in R, x neq 0 íííííí

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