Marque com um
(no espaço indicado) os conjuntos
dados abaixo que satisfizerem a condição: int
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos o conjunto $ E = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : |x + y| < 1\right} $ e precisamos verificar se a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ é satisfeita. Isso envolve entender conceitos de fronteira e interior em geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o conjunto $ E $. A inequação $ |x + y| < 1 $ significa que a soma de $ x $ e $ y $ está entre -1 e 1. Geometricamente, isso representa a região entre as duas retas $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $ no plano cartesiano.
Passo 3
A fronteira $ \partial E $ do conjunto $ E $ são exatamente essas duas retas: $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $. Essas retas delimitam a região onde $ E $ está definido.
Passo 4
Agora, vamos entender o que significa o interior da fronteira, $ int(\partial E) $. O interior de um conjunto são os pontos que têm um entorno completamente dentro do conjunto. No caso das retas $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $, elas são linhas infinitas sem “espessura” no plano. Isso significa que não há pontos nessas retas que tenham um entorno inteiro dentro da própria fronteira.
Passo 5
Como as retas são unidimensionais e não possuem área no plano bidimensional, não existe nenhum ponto na fronteira que tenha um entorno totalmente contido nela. Portanto, o interior da fronteira $ int(\partial E) $ é vazio.
Resposta
O conjunto $ E $ não satisfaz a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $.