Marque com um X (no espaço indicado) os conjuntos E subseteq R^2 dados abaixo que satisfizerem a condição: int (partial E) neq emptyset.
() E=(x, y) in R^2:|x+y|<1

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos o conjunto $ E = \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : |x + y| < 1\right} $ e precisamos verificar se a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $ é satisfeita. Isso envolve entender conceitos de fronteira e interior em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o conjunto $ E $. A inequação $ |x + y| < 1 $ significa que a soma de $ x $ e $ y $ está entre -1 e 1. Geometricamente, isso representa a região entre as duas retas $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $ no plano cartesiano.

Passo 3

A fronteira $ \partial E $ do conjunto $ E $ são exatamente essas duas retas: $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $. Essas retas delimitam a região onde $ E $ está definido.

Passo 4

Agora, vamos entender o que significa o interior da fronteira, $ int(\partial E) $. O interior de um conjunto são os pontos que têm um entorno completamente dentro do conjunto. No caso das retas $ x + y = -1 $ e $ x + y = 1 $, elas são linhas infinitas sem “espessura” no plano. Isso significa que não há pontos nessas retas que tenham um entorno inteiro dentro da própria fronteira.

Passo 5

Como as retas são unidimensionais e não possuem área no plano bidimensional, não existe nenhum ponto na fronteira que tenha um entorno totalmente contido nela. Portanto, o interior da fronteira $ int(\partial E) $ é vazio.

Resposta

O conjunto $ E $ não satisfaz a condição $ int(\partial E) \neq \emptyset $.

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