Sejam u=x^4 y+y^2 z^3 e lx=r s e^t y=r s^2 e^-t z=r^2 s sent . Calcule partial upartial s e partial upartial t.

Passo 1

O exercício diz que temos uma função u(x,y,z)=x^4y+y^2z^3 e uma mudança de variáveis dada por
x=rse^t,
y=rs^2e^-t,
z=r^2ssin t
A matéria envolvida é a regra da cadeia para derivadas parciais em funções de várias variáveis, e vamos precisar de duas coisas: as derivadas parciais ux,uy,uz e as derivadas parciais de x,y,z em relação a s e a t.

Passo 2

Primeiro, calculo as derivadas parciais de u em relação a x,y,z:
ux=4x^3y,
uy=x^4+2y z^3,
uz=3y^2z^2

Passo 3

Agora encontro as derivadas de x,y,z em relação a s:
xs=r e^t,
ys=2rs e^-t,
zs=r^2, sin t
Aplicando a regra da cadeia:
partial upartial s=uxxs+uyys+uzzs

Passo 4

Substituo tudo e simplifico. Em termos de (r,s,t):
partial upartial s=4x^3y,(r e^t)+(x^4+2y z^3),(2rs e^-t)+3y^2z^2,(r^2sin t)
Depois de substituir x= rse^t, y=rs^2e^-t, z=r^2ssin t e simplificar, fica
partial upartial s=6r^5s^5e^3t+7r^8s^6e^-2tsin^3t

Passo 5

Para partial upartial t, calculo primeiro
xt=rse^t,
yt=-rs^2e^-t,
zt=r^2scos t,
e uso novamente a regra da cadeia:
partial upartial t=uxxt+uyyt+uzzt

Passo 6

Substituindo e simplificando, obtenho em termos de (r,s,t):
partial upartial t=3r^5s^6e^3t+r^8s^7e^-2tsin^2t,(3cos t-2sin t)

Resposta

partial upartial s=6r^5s^5e^3t+7r^8s^6e^-2tsin^3te partial upartial t=3r^5s^6e^3t+r^8s^7e^-2tsin^2t,(3cos t-2sin t).

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