Sejam e . Calcule partial upartial s e partial upartial t.
Passo 1
O exercício diz que temos uma função u(x,y,z)=x^4y+y^2z^3 e uma mudança de variáveis dada por
x=rse^t,
y=rs^2e^-t,
z=r^2ssin t
A matéria envolvida é a regra da cadeia para derivadas parciais em funções de várias variáveis, e vamos precisar de duas coisas: as derivadas parciais ux,uy,uz e as derivadas parciais de x,y,z em relação a s e a t.
Passo 2
Primeiro, calculo as derivadas parciais de u em relação a x,y,z:
ux=4x^3y,
uy=x^4+2y z^3,
uz=3y^2z^2
Passo 3
Agora encontro as derivadas de x,y,z em relação a s:
xs=r e^t,
ys=2rs e^-t,
zs=r^2, sin t
Aplicando a regra da cadeia:
partial upartial s=uxxs+uyys+uzzs
Passo 4
Substituo tudo e simplifico. Em termos de (r,s,t):